Proporzionalità (matematica)

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In matematica, due quantità variabili, cioè due entità esprimibili come due funzioni numeriche aventi lo stesso dominio (in particolare due vettori) tra le quali intercorre una relazione di qualche natura x e y si dicono proporzionali (o più esplicitamente, direttamente proporzionali) se esiste una relazione funzionale della forma

$\,y = k x\,$

caratterizzata da una costante numerica non nulla k.

Questa k è chiamata la costante di proporzionalità della relazione. Per segnalare che y e x sono proporzionali senza precisare la costante di proporzionalità si usano scritture come

$y \sim x$ oppure $y \propto x$ oppure $\,y = \mbox{cost.}\; x\,$ .

Per esempio, se un veicolo si muove a velocità costante la durata del suo movimento e la distanza che copre sono proporzionali; in questo caso la costante di proporzionalità è la velocità del veicolo. Similmente, la forza (fisica) che esercita sopra un corpo materiale la gravità della Terra in una certa località è proporzionale alla massa del corpo.

Dal punto di vista della fisica, per verificare che due quantità x e y sono proporzionali, si devono eseguire misurazioni adeguate, i risultati delle quali conviene visualizzare come punti in un diagramma cartesiano. Se i punti appartengono a o, più realisticamente, se distano poco da una retta passante per l'origine (0,0), allora le due variabili sono proporzionali e la costante di proporzionalità è data dalla pendenza della retta (v. a. regressione lineare).

Due quantità x e y si dicono inversamente proporzionali se esiste una costante non nulla k tale che si può affermare

$y = {k \over x}$ .

Ad esempio il numero di persone che si devono ingaggiare per la raccolta dei pomodori in un'azienda agricola è, in buona approssimazione, inversamente proporzionale al numero dei giorni entro il quale si vuole che il lavoro sia completato.

Lo studio della nozione di proporzionalità viene attribuito ad Eudosso di Cnido ed ha grandissima importanza per la storia della matematica. Questa nozione infatti nel IV secolo a.C. ha consentito di trattare rigorosamente quelli che ora sono chiamati numeri reali, ha aperto la possibilità di definire modelli fisico-matematici ed ha contribuito a far raggiungere alla matematica lo status di scienza.

In molte situazioni nelle quali si hanno relazioni funzionali non lineari ma, ad esempio, logaritmiche, esponenziali, quadratiche, cubiche o genericamente polinomiali, ai fini espositivi puo` essere utile ricondursi alle relazioni di proporzionalità diretta e inversa. Per questo basta introdurre una variabile intermedia che abbia una forma come

$Y=\log(y) \quad Y=\exp(y) \quad Y=y^2 \quad Y=\sqrt{y} \quad Y=y^3 \quad ...$ .

[modifica] Quaterna di numeri proporzionali

Quattro numeri sono proporzionali fra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto. (Def. 20 - Libro VII degli Elementi di Euclide)

Il termine proporzione si può considerare sinonimo di rapporto e il rapporto tra due numeri reali a e b, il secondo dei quali diverso da zero, cioè il quoziente del primo numero rispetto al secondo, viene indicato con:

$\,a:b\ \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}\,$

Al termine proporzione si può anche attribuire il significato di particolare relazione fra quattro numeri.

Si dice che quattro numeri reali positivi a, b, c, d sono in proporzione fra loro, se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto; in formula:

$a:b=c:d \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Questa relazione quaternaria si legge: a sta a b, come c sta a d .

Per esprimere questa situazione si può anche dire che i numeri a, b, c, d, nell'ordine costituiscono una quaterna di numeri proporzionali. Questo termine è preciso ma un po' pesante e si può abbreviare parlando di una quaterna proporzionale.

Ad esempio i numeri 3, 6, 5, 10 formano una quaterna di interi proporzionali perché il rapporto 3/6 è uguale al rapporto 5/10. Altre quaterne proporzionali sono

(1.2, 2.7, 5.6, 12.6) e (15, 0.8, 21, 1.12)

I numeri a, b, c, d si dicono termini della proporzione e in particolare a e c si dicono antecedenti della proporzione, b e d conseguenti della proporzione, a e d estremi della proporzione, b e c medi della proporzione; infine d è detto quarto proporzionale che segue a, b e c.

Dalla definizione si ricava immediatamente la proprietà fondamentale delle proporzioni:

Se quattro numeri sono in proporzione, il prodotto del primo con il quarto è uguale al prodotto del secondo con il terzo.^[1]

In altre parole: in ogni quaterna proporzionale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In formula

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a d = b c$

Da questa proprietà ne derivano altre:

1. Regola del quarto proporzionale

Noti tre numeri a,b,c, il quarto proporzionale, d, tale che $\,a:b = c:d\,$ , è dato da

$d=\frac{bc}{a}$

Similmente si hanno le formule

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a=\frac{bc}{d}~,~~ b=\frac{ad}{c}~,~~ c=\frac{ad}{b}$

2. Proprietà dell’invertire

Data una quaterna proporzionale, se ne ottiene un’altra scambiando tra loro ogni antecedente con il proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad b:a=d:c$

3. Proprietà del permutare

Data una quaterna proporzionale se ne ottiene un’altra scambiando tra loro o i medi o gli estremi:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a:c=b:d\,, \quad d:b=c:a\,, \quad d:c=b:a$

4. Proprietà del comporre

In ogni quaterna proporzionale la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b\,, \quad (a+c):(b+d)=c:d$

5. Proprietà dello scomporre

In ogni quaterna proporzionale la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a-c):(b-d)=a:b\,, \quad (a-c):(b-d)=c:d$

Quando i due medi di una quaterna proporzionale coincidono, cioè quando

$a:b=b:d \quad\mbox{ovvero}\quad b^2=a\cdot d$

il loro comune valore è la media geometrica dei due estremi. Il numero 'b' è la parte media proporzionale fra i numeri 'a' e 'd' . Proporzioni di questo tipo sono dette continue.

[modifica] Note

^ Prop. 19 - Libro VII degli Elementi di Euclide

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[0] Prop. 19 - Libro VII degli Elementi di Euclide

[1]

Proporzionalità (matematica)

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[modifica] Note

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