Coefficiente angolare

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Il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse x.

In geometria analitica il coefficiente angolare (in lingua inglese slope, pendenza) di una retta non verticale nel piano cartesiano è il coefficiente m che compare nella sua equazione, scritta nella forma

y = mx + q\;.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale

ax+by+c=0,

con b\neq0 (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

m=-\frac{a}{b}.

Due rette (non verticali) sono parallele esattamente quando hanno lo stesso coefficiente angolare; in particolare, il coefficiente angolare della retta passante per l'origine,

y=mx

è la tangente degli angoli formati dalla retta con l'asse delle ascisse: la retta infatti passa per il punto di coordinate (x_1,y_1)=(\cos(\alpha),\sin(\alpha)), quindi

m=\frac{y_1}{x_1}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha).

Il coefficiente angolare di una retta (non verticale) è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta, (x_1, y_1) e (x_2, y_2):

\begin{cases}y_1=mx_1+q\\y_2=mx_2+q\end{cases}\Rightarrow q=y_1-mx_1=y_2-mx_2\Rightarrow m(x_1-x_2)=(y_1-y_2)\Rightarrow m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Per una retta verticale, di equazione  x = x_0, questa espressione è priva di significato: due distinti punti della retta hanno diverse coordinate y ma uguali coordinate x, quindi per calcolare il rapporto bisognerebbe dividere per zero (al contrario, in geometria proiettiva il simbolo (1:0) è ben definito).

Considerando la retta come grafico di una funzione f(x) = mx + q, il suo coefficiente angolare è la derivata della funzione: f'(x)=m. (La retta tangente è la retta stessa.)

Poiché due rette in forma generale, ax+by+c=0 e a'x+b'y+c'=0, sono perpendicolari esattamente quando aa'+bb'=0, ne segue che due rette (non verticali) y=mx+q e y=m'x+q' sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

mm'=-1.

Questa condizione può essere riscritta come m'=-\frac{1}{m}, ed espressa dicendo che m' è l'antireciproco (opposto del reciproco) di m.

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