Linearità (matematica)

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In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge A = 3B correla linearmente A e B: se B raddoppia, anche A raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Relazione lineare tra vettori[modifica | modifica sorgente]

In algebra, n vettori \mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo \mathcal K sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

 a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0

dove a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K non sono tutti nulli.[1] Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per a_1 = \ldots = a_n = 0 i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore \mathbf v può essere scritto nel modo seguente:

 \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n

allora \mathbf v è una combinazione lineare dei vettori \mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n. In particolare, lo spazio \mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n) delle combinazioni lineari dei vettori \mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore \mathbf v è combinazione lineare di \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n se e solo se i vettori \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n, \mathbf v sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineari[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione lineare.

Un'applicazione f: V \to W definita da un \mathcal{K}-spazio vettoriale V a un \mathcal{K}-spazio W è lineare se, per ogni coppia di elementi x e y appartenenti a V su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari \lambda e \mu per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in n variabili f : V_1 \times \ldots \times V_n \to W (dove i V_i sono \mathcal K-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

f(\mathbf x + \mathbf y) =f(\mathbf x) + f(\mathbf y) \qquad \forall \mathbf x, \mathbf y \in V_1 \times \ldots \times V_n
f(a_1 x_1, \ldots, a_n x_n) = a_1 \ldots a_n f(x_1, \ldots, x_n) \qquad \forall a_1, \ldots a_n \in \mathcal K

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Equazioni lineari[modifica | modifica sorgente]

Equazioni algebriche[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione lineare.

Un'equazione algebrica in n incognite x_1, x_2, \cdots, x_n si dice lineare se è della forma:

 a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n - b = 0

dove i coefficienti (costanti) a_i non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita \mathbf x = (x_1, \cdots, x_n)^T è lineare se esistono un vettore \mathbf a = (a_1, \cdots, a_n)^T \in \mathcal{K}^n, dove \mathcal K è un campo, e un elemento b \in \mathcal K per cui si può scrivere:

\mathbf a \cdot \mathbf x = b

Il simbolo \cdot denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio \mathcal K^n.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di \mathbf x. Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti a_1, \ldots, a_n, b, o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se a_1 \ne 0 l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

\begin{cases} x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right) \\ x_2 = t_2 \\ \vdots \\ x_n = t_n \end{cases}

dove si sono definiti i parametri liberi t_i = x_i.

Sistemi di equazioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema di equazioni lineari.

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite x_1, \cdots, x_n, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice A di dimensione n \times m, il cui elemento a_{ij} rappresenta il coefficiente dell'i-esima incognita nella j-esima equazione. Se allora \mathbf x è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e \mathbf b è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere:

A \mathbf x = \mathbf b

che equivale a:


\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\
 & \vdots & \\
 a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix}
\right.

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo \mathcal K in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di \mathcal K. Più precisamente:

\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf b) = \mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0) + \mathbf b

in particolare, lo spazio \mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0) delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

A \mathbf x = \mathbf 0 \mbox{ e } A \mathbf y = \mathbf 0 \ \Rightarrow A (\lambda \mathbf x + \mu \mathbf y) = \mathbf 0 \qquad \forall \lambda, \mu \in \mathcal K

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice A con la risolubilità del sistema.

Equazioni differenziali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione differenziale lineare.

Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

 a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)

con qualche a_i \ne 0.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di y compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

 \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y

è lineare, cioè se y_1 è soluzione di \mathfrak{L}(y) = f_1 (x) e y_2 è soluzione di \mathfrak{L}(y) = f_2 (x) allora (y_1+y_2) è soluzione di \mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x). In altri termini, vale la relazione:

\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}

Luoghi geometrici[modifica | modifica sorgente]

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

3x + 8y - 2 = 0

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

x + 2y - z + 1 = 0

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}

rispetto alla coordinata y, e:

z = x + 2y + 1

rispetto alla coordinata z.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il vettore nullo \mathbf 0 è linearmente dipendente, poiché vale ad esempio la relazione 1 \mathbf 0 = \mathbf 0.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9.
  • (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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