Omomorfismo di anelli

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In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Più precisamente, un omomorfismo fra due anelli (A,+,*) e (B,+',*') è una funzione

 f : A \to B\,\!

tale che

 f(a+b) = f(a) +' f(b),\,\!
 f(a*b) = f(a)*'f(b).\,\!

per ogni  a, b in A.

Se i due anelli sono unitari allora un omomorfismo per cui inoltre valga

 f(1_A) = 1_B\,\!

si dice omomorfismo unitario.

La composizione di due omomorfismi fra anelli è un omomorfismo fra anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Omomorfismi di gruppi[modifica | modifica sorgente]

Innanzitutto,  f è un omomorfismo di gruppi. In particolare, valgono le relazioni:

 f(0) = 0, \quad f(-a)=-f(a).

D'altra parte, se  f è unitario e se  a ha un inverso moltiplicativo, lo ha anche  f(a) e vale

 f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\,\!

e quindi  f induce anche un omomorfismo di gruppi

 A^* \to B^*\,\!

fra i gruppi moltiplicativi formati dagli elementi invertibili di  A e  B .

Nucleo[modifica | modifica sorgente]

Il nucleo di  f

 \ker(f) = \{a\in A | f(a) = 0\}

è un ideale di A. D'altra parte, se A è un anello commutativo ogni ideale di A è il nucleo di un omomorfismo di anelli: questo enunciato è falso per anelli non commutativi.

Se A e B sono commutativi e B è un dominio d'integrità, il nucleo è un ideale primo di A.

Immagine[modifica | modifica sorgente]

L'immagine di  f è un sottoanello di B.

Se  f è biiettiva, la sua inversa  f^{-1} è un omomorfismo di anelli. In questo caso i due anelli A e B sono detti isomorfi.

Campi[modifica | modifica sorgente]

Se A e B sono due campi, se  f non è l'applicazione nulla allora è necessariamente iniettiva, e l'immagine  f(A) è un sottocampo di B. Tale risultato vale nell'ipotesi più generale in cui A sia un corpo e B un anello.

Numeri interi[modifica | modifica sorgente]

Per ogni anello A esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi Z in A. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello Z è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • La funzione  f  : ZZn, definita come  f(a) = [a] è un omomorfismo con nucleo nZ (qui Zn è l'anello delle classi di resto modulo n).
  • Non ci sono omomorfismi unitari ZnZ per n > 1.
  • Se K[x] è l'anello dei polinomi in x, e a è un elemento di K, la funzione che associa ad un polinomio p la valutazione p(a) di p in a è un omomorfismo da K[x] in K, detto omomorfismo di valutazione.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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