Omomorfismo di anelli

In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Più precisamente, un omomorfismo fra due anelli $(A,+,*)$ e $(B,+',*')$ è una funzione

$f : A \to B\,\!$

tale che

$f(a+b) = f(a) +' f(b),\,\!$

$f(a*b) = f(a)*'f(b).\,\!$

per ogni $a, b$ in $A$.

Se i due anelli sono unitari allora un omomorfismo per cui inoltre valga

$f(1_A) = 1_B\,\!$

si dice omomorfismo unitario.

La composizione di due omomorfismi fra anelli è un omomorfismo fra anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Proprietà

Omomorfismi di gruppi

Innanzitutto, $f$ è un omomorfismo di gruppi. In particolare, valgono le relazioni:

$f(0) = 0, \quad f(-a)=-f(a).$

D'altra parte, se $f$ è unitario e se $a$ ha un inverso moltiplicativo, lo ha anche $f(a)$ e vale

$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\,\!$

e quindi $f$ induce anche un omomorfismo di gruppi

$A^* \to B^*\,\!$

fra i gruppi moltiplicativi formati dagli elementi invertibili di $A$ e $B$.

Nucleo

Il nucleo di $f$

$\ker(f) = \{a\in A | f(a) = 0\}$

è un ideale di A. D'altra parte, se A è un anello commutativo ogni ideale di A è il nucleo di un omomorfismo di anelli: questo enunciato è falso per anelli non commutativi.

Se A e B sono commutativi e B è un dominio d'integrità, il nucleo è un ideale primo di A.

Immagine

L'immagine di $f$ è un sottoanello di B.

Se $f$ è biiettiva, la sua inversa $f^{-1}$ è un omomorfismo di anelli. In questo caso i due anelli A e B sono detti isomorfi.

Campi

Se A e B sono due campi, se $f$ non è l'applicazione nulla allora è necessariamente iniettiva, e l'immagine $f(A)$ è un sottocampo di B. Tale risultato vale nell'ipotesi più generale in cui A sia un corpo e B un anello.

Numeri interi

Per ogni anello A esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi Z in A. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello Z è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli.

Esempi

• La funzione $f$ : Z → Z_n, definita come $f(a) = [a]$ è un omomorfismo con nucleo nZ (qui Z_n è l'anello delle classi di resto modulo n).
• Non ci sono omomorfismi unitari Z_n → Z per n > 1.
• Se K[x] è l'anello dei polinomi in x, e a è un elemento di K, la funzione che associa ad un polinomio p la valutazione p(a) di p in a è un omomorfismo da K[x] in K, detto omomorfismo di valutazione.

Voci correlate

• Omomorfismo
• Anello (algebra)
• Ideale (matematica)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica