Omomorfismo di anelli

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In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano (A,+,\cdot) e (B,\oplus,\odot) due anelli. Una funzione f:A\longrightarrow B è un omomorfismo se, per ogni a,b\in A,

f(a+b)=f(a)\oplus f(b) e
f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b).

Di conseguenza, f è un omomorfismo di anelli se e solo se è un omomorfismo tra i gruppi (A,+) e (B,\oplus) e tra i semigruppi (A,\cdot) e (B,\odot).

Se f è una funzione biunivoca, allora la sua inversa f^{-1} è anch'essa un omomorfismo di anelli. In tal caso, f è detto isomorfismo di anelli.

La composizione di due omomorfismi fra anelli è un omomorfismo fra anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Omomorfismi unitari[modifica | modifica wikitesto]

Se i due anelli sono unitari, e l'immagine dell'unità di A è l'unità di B, allora l'omomorfismo è detto unitario. Spesso, in contesti in cui tutti gli anelli considerati sono unitari (come ad esempio nella gran parte dell'algebra commutativa) vengono considerati solo gli omomorfismi unitari.

In questo caso, f induce una mappa tra gli elementi invertibili di A e gli elementi invertibili di B, che risulta essere un omomorfismo di gruppi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempi banali di omomorfismi sono l'identità \mathrm{id}:A\longrightarrow A, l'inclusione di anelli i:A\longrightarrow B (dove B è un sottoanello di A) e l'omomorfismo nullo che manda ogni elemento di A nello zero di B. Mentre l'identità è sempre un omomorfismo unitario e l'omomorfismo nullo non lo è mai, un'inclusione può non essere unitaria anche se entrambi gli anelli possiedono unità: ad esempio, se A è un anello, A\times A il prodotto diretto di A con sé stesso (ovvero il prodotto cartesiano dotato delle operazioni termine a termine) allora l'inclusione f tale che f(a)=(a,0) è un omomorfismo, ma non è un omomorfismo unitario.

Un altro esempio di omomorfismo è la funzione f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}_n, definita come f(a)=[a] (dove \mathbb{Z}_n è l'anello delle classi di resto modulo n). Viceversa, l'unico omomorfismo da \mathbb{Z}_n a \mathbb{Z} è l'omomorfismo nullo.

Dato un anello commutativo A, e un elemento a\in A, la funzione che associa ad ogni polinomio p di A[X] la sua valutazione p(a) è un omomorfismo da A[X] ad A, detto omomorfismo di valutazione. Esso è usato, ad esempio, nella teoria di Galois e nello studio dei polinomi a valori interi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

 \ker(f) = \{a\in A | f(a) = 0\}
è un ideale bilatero di A. Viceversa, ogni ideale bilatero di A è il nucleo di un omomorfismo di anelli. Al contrario, gli ideali destri ma non sinistri (o viceversa) non sono nuclei di alcun omomorfismo. Se A è commutativo e B è un dominio d'integrità, allora il nucleo è un ideale primo di A.
  • L'immagine di f è un sottoanello di B.
  • Se A è un corpo (ad esempio, se è un campo) ed f è non nullo, allora è iniettivo. Questo segue dal fatto che i corpi non hanno ideali bilateri non banali.
  • Per ogni anello unitario A, esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi \mathbb{Z} ad A. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello \mathbb{Z} è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli unitari.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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