Vettore nullo

In algebra lineare, il vettore nullo (o elemento zero) di uno spazio vettoriale è l'elemento neutro dell'operazione di addizione definita nello spazio, cioè quel vettore che lascia invariato qualunque vettore dello spazio a cui venga sommato. Tale vettore esiste sempre (per assioma) in qualunque spazio vettoriale, ed è possibile dimostrare che è anche unico.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo $\mathcal K$. Dagli assiomi che definiscono lo spazio, esiste un elemento $\mathbf 0 \in V$ tale che, se $+ : V \times V \to V$ rappresenta l'operazione di somma tra vettori, allora

$\mathbf v + \mathbf 0 = \mathbf v \quad \quad \mbox{ per ogni } \mathbf v \in V$.

Questo è il vettore nullo. Tramite il vettore nullo si definisce (e si dimostra che è unico) l'opposto di un qualunque vettore $\mathbf v \in V$; esso è il vettore $-\mathbf v$ tale che

$\mathbf v + (- \mathbf v) = \mathbf 0$.

(si richiede per assioma che $\mathbf v \in V \Rightarrow -\mathbf v \in V$).

Da questi due assiomi segue che il vettore nullo è opposto di se stesso, in quanto per definizione

$\mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0 \quad \mbox{ da cui } -\mathbf 0 = \mathbf 0$.

Unicità

Il vettore nullo è univocamente determinato dalla propria definizione.

Siano infatti $\mathbf n, \mathbf n^\prime$ due vettori per cui valga la definizione di vettore nullo. Allora

$\mathbf n^\prime = \mathbf n^\prime + \mathbf n = \mathbf n$.

Proprietà

Proprietà generali

Si indichi con $0$ l'elemento neutro della somma di $\mathcal K$; il vettore nullo gode delle seguenti proprietà:

• $0\mathbf v = \mathbf 0 \ \forall \mathbf v \in V$.

Dimostrazione

Per le proprietà di campo di cui gode $\mathcal K$, 0 ammette opposto e questo è 0, sicché $0 + 0 = 0$ :

$0\mathbf v = (0 + 0)\mathbf v = 0\mathbf v + 0\mathbf v$

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $0\mathbf v$ :

$-0\mathbf v + 0\mathbf v = -0\mathbf v + (0\mathbf v + 0\mathbf v)$ .

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

$\mathbf 0 = \mathbf 0 + 0\mathbf v = 0\mathbf v$ , Q.E.D.

• $\lambda \mathbf 0 = \mathbf 0 \ \forall \lambda \in \mathcal K$,

Dimostrazione

L'opposto del vettore nullo è il vettore nullo, sicché $\mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0$ :

$\lambda \mathbf 0 = \lambda (\mathbf 0 + \mathbf 0) = \lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0$

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $\lambda \mathbf 0$ :

$- \lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0 = - \lambda \mathbf 0 + (\lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0)$ .

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

$\mathbf 0 = \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0 = \lambda \mathbf 0$ , Q.E.D.

• $\lambda \mathbf v = \mathbf 0 \Leftrightarrow \lambda = 0 \vee \mathbf v = \mathbf 0$.

Dimostrazione

L'implicazione a sinistra $\Leftarrow$ segue dalle prime due proprietà. Per quanto riguarda l'implicazione a destra, supponiamo che

$\lambda \mathbf v = \mathbf 0$ .

Allora, o $\lambda = 0$, nel qual caso non c'è nulla da dimostrare, o $\lambda \ne 0$, nel qual caso esso ammette inverso per le proprietà di $\mathcal K$, cioè esiste $\lambda^{-1}$ tale che $\lambda^{-1}\lambda = 1$, dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione in $\mathcal K$. Per gli assiomi di spazio vettoriale, $1\mathbf v = \mathbf v$ sicché:

$\lambda^{-1}\lambda \mathbf v = \lambda^{-1}\mathbf 0$

$\mathbf v = \mathbf 0$ , Q.E.D.

• Un insieme di vettori che includa il vettore nullo è necessariamente linearmente dipendente; questo vale anche qualora l'insieme consti del solo vettore nullo. Data infatti una combinazione lineare di un simile sistema di vettori, è sufficiente porre tutti i coefficienti uguali a zero tranne quello che moltiplica il vettore nullo, e il risultato sarà zero.

• Per ogni base fissata $\{\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n\}$ dello spazio finito-dimensionale $V$, il vettore delle coordinate del vettore nullo è il vettore $(0, 0, \cdots, 0)^T$.

Dimostrazione

Valga la scrittura in coordinate

$\mathbf 0 = c_1 \mathbf e_1 + \ldots + c_n \mathbf e_n$ .

Allora, poiché $\mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0$ :

$\mathbf 0 + \mathbf 0 = (c_1 + c_1) \mathbf e_1 + \ldots + (c_n + c_n) \mathbf e_n = c_1 \mathbf e_1 + \ldots + c_n \mathbf e_n$ ,

da cui, essendo i vettori di base linearmente indipendenti,

$\begin{cases}c_1 + c_1 = c_1 \\ \vdots \\ c_n + c_n = c_n\end{cases}$ ,

per cui $c_1 = \ldots = c_n = 0$ , Q.E.D.

• Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale in cui sia garantita l'esistenza dell'inverso e la chiusura rispetto a combinazioni lineari (un tale sottoinsieme è detto sottospazio vettoriale, e si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale). In particolare, l'insieme costituito dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale (nonché lo spazio vettoriale di minima cardinalità possibile): esso è un sottospazio di qualunque spazio vettoriale, e la sua dimensione è per definizione 0.

Proprietà in spazi più strutturati

• Se in $V$ è definito un prodotto scalare o hermitiano non degenere $(\cdot |\cdot) : V \times V \to \mathcal K$, allora

$(\mathbf v | \mathbf x) = 0 \ \forall x \in V \Leftrightarrow \mathbf v = \mathbf 0$.

Questo segue dall'isomorfismo tra un qualunque spazio vettoriale e il suo spazio duale (l'insieme dei funzionali lineari definiti su di esso). In questo senso, al vettore nullo corrisponde tramite isomorfismo il funzionale nullo.

• Se $(V, \|\cdot\|)$ è uno spazio normato, allora per definizione

$\|\mathbf x\| = 0 \Leftrightarrow \mathbf x = \mathbf 0$;

(questo non vale negli spazi seminormati).

• Negli spazi tridimensionali su cui è definito un prodotto vettoriale il vettore nullo ha la proprietà di annullare sempre il prodotto; inoltre, se il prodotto tra due vettori non nulli è il vettore nullo, allora questi due vettori sono proporzionali.

Esempi particolari

Nello spazio $\R^n$ (o $\mathbb C^n$) il vettore nullo rappresenta l'origine degli assi coordinati.

Negli spazi di funzioni il vettore nullo è la funzione nulla, cioè la funzione che manda il proprio dominio in $\{0\}$.

Nello spazio $M_{m,n}(\mathcal K)$ delle matrici $m \times n$ a coefficienti nel campo $\mathcal K$, il vettore nullo è la matrice i cui elementi sono tutti zero.

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Vettore

Bibliografia

• S. Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri [1970], 2009. ISBN 978-88-339-5035-8.