Vettore nullo

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In algebra lineare, il vettore nullo (o elemento zero) di uno spazio vettoriale è l'elemento neutro dell'operazione di addizione definita nello spazio, cioè quel vettore che lascia invariato qualunque vettore dello spazio a cui venga sommato. Tale vettore esiste sempre (per assioma) in qualunque spazio vettoriale, ed è possibile dimostrare che è anche unico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale definito sul campo \mathcal K. Dagli assiomi che definiscono lo spazio, esiste un elemento \mathbf 0 \in V tale che, se + : V \times V \to V rappresenta l'operazione di somma tra vettori, allora:[1]

\mathbf v + \mathbf 0 = \mathbf v \quad \quad \mbox{ per ogni } \mathbf v \in V

Questo è il vettore nullo. Tramite il vettore nullo si definisce (e si dimostra che è unico) l'opposto di un qualunque vettore \mathbf v \in V; esso è il vettore -\mathbf v tale che:

\mathbf v + (- \mathbf v) = \mathbf 0.

(si richiede per assioma che \mathbf v \in V \Rightarrow -\mathbf v \in V).

Da questi due assiomi segue che il vettore nullo è opposto di se stesso, in quanto per definizione

\mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0 \quad \mbox{ da cui } -\mathbf 0 = \mathbf 0.

Unicità[modifica | modifica wikitesto]

Il vettore nullo è univocamente determinato dalla propria definizione.

Siano infatti \mathbf n, \mathbf n^\prime due vettori per cui valga la definizione di vettore nullo. Allora

\mathbf n^\prime = \mathbf n^\prime + \mathbf n = \mathbf n.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà generali[modifica | modifica wikitesto]

Si indichi con 0 l'elemento neutro della somma di \mathcal K; il vettore nullo gode delle seguenti proprietà:

  • 0\mathbf v = \mathbf 0 \ \forall \mathbf v \in V.

Per le proprietà di campo di cui gode \mathcal K, 0 ammette opposto e questo è 0, sicché 0 + 0 = 0:

 0\mathbf v = (0 + 0)\mathbf v = 0\mathbf v + 0\mathbf v

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di 0\mathbf v:

-0\mathbf v + 0\mathbf v = -0\mathbf v + (0\mathbf v + 0\mathbf v)

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

\mathbf 0 = \mathbf 0 + 0\mathbf v = 0\mathbf v.
  • \lambda \mathbf 0 = \mathbf 0 \ \forall \lambda \in \mathcal K

L'opposto del vettore nullo è il vettore nullo, sicché \mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0:

 \lambda \mathbf 0 = \lambda (\mathbf 0 + \mathbf 0) = \lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di \lambda \mathbf 0:

- \lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0 = - \lambda \mathbf 0 + (\lambda \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0)

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

\mathbf 0 = \mathbf 0 + \lambda \mathbf 0 = \lambda \mathbf 0.
  • \lambda \mathbf v = \mathbf 0 \Leftrightarrow \lambda = 0 \vee \mathbf v = \mathbf 0

L'implicazione a sinistra \Leftarrow segue dalle prime due proprietà. Per quanto riguarda l'implicazione a destra, si supponga che:

\lambda \mathbf v = \mathbf 0

Allora, o \lambda = 0, nel qual caso non c'è nulla da dimostrare, o \lambda \ne 0, nel qual caso esso ammette inverso per le proprietà di \mathcal K, cioè esiste \lambda^{-1} tale che \lambda^{-1}\lambda = 1, dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione in \mathcal K. Per gli assiomi di spazio vettoriale, 1\mathbf v = \mathbf v sicché:

\lambda^{-1}\lambda \mathbf v = \lambda^{-1}\mathbf 0
\mathbf v = \mathbf 0.
  • Un insieme di vettori che includa il vettore nullo è necessariamente linearmente dipendente; questo vale anche qualora l'insieme consti del solo vettore nullo. Data infatti una combinazione lineare di un simile sistema di vettori, è sufficiente porre tutti i coefficienti uguali a zero tranne quello che moltiplica il vettore nullo, e il risultato sarà zero.
  • Per ogni base fissata \{\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n\} dello spazio finito-dimensionale V, il vettore delle coordinate del vettore nullo è il vettore (0, 0, \cdots, 0)^T.

Valga la scrittura in coordinate

\mathbf 0 = c_1 \mathbf e_1 + \ldots + c_n \mathbf e_n

Allora, poiché \mathbf 0 + \mathbf 0 = \mathbf 0:

\mathbf 0 + \mathbf 0 = (c_1 + c_1) \mathbf e_1 + \ldots + (c_n + c_n) \mathbf e_n = c_1 \mathbf e_1 + \ldots + c_n \mathbf e_n

da cui, essendo i vettori di base linearmente indipendenti:

\begin{cases}c_1 + c_1 = c_1 \\ \vdots \\ c_n + c_n = c_n\end{cases}

per cui c_1 = \ldots = c_n = 0.

  • Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale in cui sia garantita l'esistenza dell'opposto e la chiusura rispetto a combinazioni lineari (un tale sottoinsieme è detto sottospazio vettoriale, e si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale). In particolare, l'insieme costituito dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale (nonché lo spazio vettoriale di minima cardinalità possibile): esso è un sottospazio di qualunque spazio vettoriale, e la sua dimensione è per definizione 0.

Proprietà in spazi più strutturati[modifica | modifica wikitesto]

(\mathbf v | \mathbf x) = 0 \;\; \forall \mathbf x \in V \quad \iff \quad \mathbf v = \mathbf 0.

Questo segue dall'isomorfismo tra un qualunque spazio vettoriale e il suo spazio duale (l'insieme dei funzionali lineari definiti su di esso). In questo senso, al vettore nullo corrisponde tramite isomorfismo il funzionale nullo.

\|\mathbf v\| = 0 \quad \iff \quad \mathbf v = \mathbf 0;

(questo non vale negli spazi seminormati).

  • Negli spazi tridimensionali su cui è definito il prodotto vettoriale il vettore nullo ha la proprietà di annullare sempre il prodotto; inoltre, il prodotto tra due vettori non nulli è il vettore nullo se e solo se questi due vettori sono proporzionali.

Esempi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Nello spazio \R^n (o \mathbb C^n) il vettore nullo rappresenta l'origine degli assi coordinati.

Negli spazi di funzioni (con somma e moltiplicazione per scalare definiti puntualmente) il vettore nullo è la funzione nulla, cioè la funzione che manda il proprio dominio in \{0\}.

Nello spazio M_{m,n}(\mathcal K) delle matrici m \times n a coefficienti nel campo \mathcal K, il vettore nullo è la matrice i cui elementi sono tutti zero.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Serge Lang, pag.37

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]