Cardinalità

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In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende nient'altro che il numero dei suoi elementi. Essa viene indicata con i simboli |A|, #(A) o card(A).

La definizione, valida anche per insiemi infiniti fornisce una definizione astratta e una generalizzazione del concetto di numero naturale.

La definizione segue i seguenti passi:

  • Due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche "equinumerosi" se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa.
  • Si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza (in realtà essa gode solamente delle proprietà che caratterizzano le relazioni d'equivalenza ma in teoria assiomatica degli insiemi non è una relazione d'equivalenza a causa del fatto che l'"insieme di tutti gli insiemi equipotenti a un assegnato insieme A" non è un insieme, ma una classe propria). Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali.
  • Gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti.
  • Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo \aleph_0, da leggersi aleph-zero.
  • Indichiamo con \aleph_1 la più piccola cardinalità più che numerabile.
  • Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità \aleph_0,~\aleph_1,~\aleph_2, ~... che si dicono numeri cardinali transfiniti.
  • Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con \mathbf{c}. L'Ipotesi del continuo afferma \mathbf{c} = \aleph_1
  • Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con 2^\mathbf{c}. Secondo l'ipotesi del continuo generalizzata 2^\mathbf{c} = \aleph_2.

È fondamentale il teorema di Cantor-Bernstein: siano A e B due insiemi; se esistono un'applicazione iniettiva f di A in B e un'applicazione iniettiva g di B in A, allora A e B sono equipotenti.

Esempi: (0,1) è equipotente a (0,1].Infatti la funzione f: (0,1)→ (0,1], f(x)=x è iniettiva. Ma anche la funzione g:(0,1] → (0,1), g(x)=x/2 è iniettiva, quindi per il teorema di Cantor-Bernstein gli insiemi (0,1) e (0,1] sono equipotenti.

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