Forma sesquilineare

In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Il nome trae origine dal prefisso sesqui che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale. Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo $\mathbb{C}$ è una mappa:

$\phi: V\times V \to \mathbb{C}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf v$ e $\mathbf w \in V$ lo scalare $\phi(\mathbf v,\mathbf w) \in \mathbb{C}$.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

• $\phi(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z + \mathbf w) = \phi(\mathbf x, \mathbf z) + \phi(\mathbf x, \mathbf w) + \phi(\mathbf y, \mathbf z) + \phi(\mathbf y, \mathbf w)$
• $\phi(a \mathbf x, \mathbf y) = a \phi(\mathbf x, \mathbf y)$
• $\phi(\mathbf x, a \mathbf y) = \bar{a} \phi(\mathbf x,\mathbf y)$

con $a \in \mathbb{C}$ e $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf w \in \mathbb{V}$.

In altre parole, per ogni $\mathbf z$ in $V$ fissato, le applicazioni

$\mathbf w \mapsto \phi(\mathbf w, \mathbf z) \qquad \ \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf z,\mathbf w)$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana

Per approfondire, vedi Operatore autoaggiunto.

Data una qualsiasi forma sesquilineare $\phi$ su $V$, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare $\phi^\dagger$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

$\phi^\dagger(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}$

e si ha:

$(\phi^\dagger)^\dagger = \phi$

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare $\phi : V \times V \to \C$ tale che:

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}$

La forma hermitiana standard sullo spazio $\C^n$ è definita nel modo seguente:

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \sum_{i=1}^n\overline{w}_i z_i$

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

$\phi = {1\over 2}(\phi+\phi^\dagger) + {1\over 2}(\phi-\phi^\dagger)$

Prodotto interno

Per approfondire, vedi Spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:

$\phi (0, 0) = 0 \qquad \phi (\mathbf z, \mathbf z) > 0$

se $\mathbf z \neq 0$. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con $\langle , \rangle$, ed uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare $\varepsilon : V \times V \to \C$ tale che:

$\varepsilon(\mathbf w,\mathbf z) = -\overline{\varepsilon(\mathbf z,\mathbf w)}$

ovvero:

$\varepsilon = - \varepsilon^\dagger$

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

$\varepsilon = i\cdot\phi$

dove i è l'unità immaginaria e $\phi$ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata

Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita. Sia

$B = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n)$

una base di $V$. Ogni forma hermitiana $\phi$ è rappresentata da una matrice hermitiana $H$ definita come

$H_{i,j} = \phi(\mathbf v_i, \mathbf v_j) \$

e vale la relazione

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = ^t\overline{[\mathbf w]_B} H [\mathbf z]_B$

dove $[\mathbf v]_B$ è il vettore in $C^n$ delle coordinate di $\mathbf v$ rispetto a $B$. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base $B$.

Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

$Q(z) = \phi(v,v) \$

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlate

• Forma bilineare
• Forma quadratica
• Matrice antihermitiana
• Matrice hermitiana
• Operatore autoaggiunto
• Prodotto scalare
• Spazio di Hilbert
• Spazio prehilbertiano
• Trasformazione antilineare
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

• (EN) A.L. Onishchik, "Sesquilinear form" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)

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