Forma sesquilineare

In matematica una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare nel primo argomento e lineare nel secondo. Il nome trae origine dal prefisso sesqui che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi.

Talora si chiede invece che una trasformazione sesquilineare sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo: questa è infatti la convenzione utilizzata dai matematici. La convenzione qui scelta è invece quella seguita dai fisici quando trattano di meccanica quantistica, e trae origine dalla notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica. Inoltre vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi, usano per brevità il termine forma bilineare al posto di sesquilineare.

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga alla forma bilineare simmetrica nel caso reale. Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo $\mathbb{C}$ è una mappa:

$\phi: V\times V \to \mathbb{C}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf v$ e $\mathbf w \in V$ lo scalare $\phi(\mathbf v,\mathbf w) \in \mathbb{C}$.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

• $\phi(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z + \mathbf w) = \phi(\mathbf x, \mathbf z) + \phi(\mathbf x, \mathbf w) + \phi(\mathbf y, \mathbf z) + \phi(\mathbf y, \mathbf w)\,$
• $\phi(a \mathbf x, \mathbf y) = \bar{a} \phi(\mathbf x, \mathbf y)$
• $\phi(\mathbf x, a \mathbf y) = a \phi(\mathbf x,\mathbf y)$

con $a \in \mathbb{C}$ e $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf w \in \mathbb{V}$.

In altre parole, per ogni z in V fissato, le applicazioni

$\mathbf w \mapsto \phi(\mathbf w, \mathbf z) \qquad \ \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf z,\mathbf w)$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana

Per approfondire, vedi la voce Operatore autoaggiunto.

Data una qualsiasi forma sesquilineare φ su V, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare $\phi^\dagger$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

$\phi^\dagger(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}$

e si ha:

$(\phi^\dagger)^\dagger = \phi$

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare ϕ: V × V → C tale che:

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}$

La forma hermitiana standard sullo spazio Cⁿ è definita nel modo seguente:

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \sum_{i=1}^n\overline{w}_i z_i$

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

$\phi = {1\over 2}(\phi+\phi^\dagger) + {1\over 2}(\phi-\phi^\dagger)$

Prodotto interno

Per approfondire, vedi la voce Spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:

$\phi (0, 0) = 0 \qquad \phi (\mathbf z, \mathbf z) > 0 \,$

se $\mathbf z \neq 0$. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con $\langle , \rangle$, ed uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare ε: V × V → C tale che:

$\varepsilon(\mathbf w,\mathbf z) = -\overline{\varepsilon(\mathbf z,\mathbf w)}$

ovvero:

$\varepsilon = - \varepsilon^\dagger$

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

$\varepsilon = i\cdot\phi$

dove i è l'unità immaginaria e φ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata

Supponiamo che V abbia dimensione finita. Sia

$B = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n)$

una base di V. Ogni forma hermitiana φ è rappresentata da una matrice hermitiana H definita come

$H_{i,j} = \phi(\mathbf v_i, \mathbf v_j) \$

e vale la relazione

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = ^t\overline{[\mathbf w]_B} H [\mathbf z]_B$

dove $[\mathbf v]_B$ è il vettore in Cⁿ delle coordinate di v rispetto a B. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitianwo. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base B.

Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

$Q(z) = \phi(v,v) \$

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• forma bilineare
• teorema spettrale
• spazio prehilbertiano
• spazio di Hilbert

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