Campo (matematica)
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In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme K e due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con + e *, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri razionali o reali.
Il campo è una struttura algebrica basilare in matematica, necessaria per lo studio approfondito dei polinomi e delle loro radici, e per la definizione degli spazi vettoriali.
Un elemento di un campo è detto scalare (soprattutto nel contesto degli spazi vettoriali).
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[modifica] Definizione formale
L'insieme K, dotato di due operazioni binarie + e *, è un campo se valgono i seguenti assiomi:
(K, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- a + b = b + a
- 0 + a = a + 0 = a
- ∀a ∃(−a) tale che a + −a = −a + a = 0
(K \{0}, *) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1:
- (a*b)*c = a*(b*c)
- a*b = b*a
- 1*a = a*1 = a
- ∀a≠0 ∃(a-1) tale che a*a-1 = a-1*a = 1
La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:
- a*(b + c) = (a*b) + (a*c)
(le relazioni devono valere per ogni a, b e c in K)
Ciascuna delle seguenti definizioni di campo è equivalente a quella data:
- un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso;
- un corpo commutativo rispetto alla moltiplicazione.
A volte un campo è chiamato corpo commutativo.
Il gruppo moltiplicativo K \{0} è solitamente indicato con K*.
[modifica] Esempi
- L'insieme dei numeri razionali Q, con le operazioni di addizione e moltiplicazione usuali tra numeri è un campo.
- L'insieme dei numeri reali R, con le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri reali è un campo.
- L'insieme dei numeri complessi C, con l'appropriata estensione delle operazioni di addizione e moltiplicazione è un campo.
- I numeri algebrici formano un campo.
- I quaternioni, i numeri surreali e i numeri p-adici formano dei campi.
- L'insieme Z/pZ delle classi di resto modulo p con le usuali operazioni di somma e prodotto forma un campo se e solo se p è un numero primo.
[modifica] Anelli e campi
Anelli che non sono campi:
- L'esempio più importante è l'insieme Z dei numeri interi: non è un campo perché i soli elementi ad avere un inverso moltiplicativo sono +1 e -1.
- Il prodotto di anelli è un anello, ma il prodotto di campi non è un campo. Quindi ad esempio R2 = R × R è un anello ma non un campo: l'elemento (1,0) non ha un inverso.
- Ogni dominio d'integrità finito è un campo.
D'altra parte, ogni dominio d'integrità A è contenuto in un campo, detto campo quoziente, che è il "più piccolo" campo fra quelli contenenti A. Il campo quoziente di Z è Q.
[modifica] Sottocampi e estensione di campi
Un sottoinsieme di un campo K che è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto, contenente 0 e 1, e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo. Ad esempio, Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di C.
Analogamente si definisce la nozione di estensione di un campo K, come l'immersione di K come sottocampo di un campo più grande H. Questa nozione è strettamente connessa allo studio delle radici di un polinomio: una tale estensione è algebrica se ogni elemento di H è radice di un polinomio a coefficienti in K. Ad esempio, l'estensione di R in C, o di Q nel campo dei numeri algebrici, è un'estensione algebrica.
[modifica] Proprietà
- Un campo K ha caratteristica zero oppure un numero primo p.
- Un campo K con un numero finito di elementi, detto campo finito, è fatto di pn elementi, dove p è un numero primo.
- Come anello, un campo K non contiene ideali tranne l'ideale nullo {0} e K stesso.
- Assumendo l'assioma della scelta si può dimostrare che ogni campo K ha una chiusura algebrica: ad esempio C è la chiusura algebrica di R.
- Ogni sottogruppo finito del gruppo abeliano moltiplicativo K* è ciclico.
[modifica] Voci correlate
- Glossario di teoria dei campi
- altre strutture algebriche
- spazio vettoriale
- estensione algebrica
- teoria di Galois
- campo finito
- campo con un elemento
