Indipendenza algebrica

In algebra astratta, un sottoinsieme $S$ di un campo $L$ si dice algebricamente indipendente su un sottocampo $K$ se gli elementi di $S$ non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in $K$.

Questo significa che per ogni sequenza finita $\alpha_1, ..., \alpha_n$ di elementi distinti di $S$ e per ogni espressione polinomiale $P(x_1, ..., x_n)$ a coefficienti in $K$, si ha: $P(\alpha_1, ..., \alpha_n) \neq 0$.

In particolare, un unico elemento $\alpha$ è algebricamente indipendente su $K$ se e solo se è trascendente in $K$. In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su $K$ sono necessariamente trascendenti su $K$ stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali $\{\sqrt{\pi}, 2\pi+1\}$ non è algebricamente indipendente sull'insieme $\mathbb{Q}$ dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale $P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1$ vale zero se si scelgono $x_1=\sqrt{\pi}$ e $x_2=2\pi+1$.

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su $\mathbb{Q}$.

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di $\{\pi, e^{\pi}, \Gamma(1/4)\}$ su $\mathbb{Q}$.

Data un'estensione di campi $L/K$, si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di $L$ algebricamente indipendente su $K$. Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

Voci correlate

• Estensione di campi
• Indipendenza lineare
• Indipendenza affine

Bibliografia

• Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and e^π, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113

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