Indipendenza algebrica

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In algebra astratta, un sottoinsieme S di un campo L si dice algebricamente indipendente su un sottocampo K se gli elementi di S non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in K.

Questo significa che per ogni sequenza finita \alpha_1, ..., \alpha_n di elementi distinti di S e per ogni espressione polinomiale P(x_1, ..., x_n) a coefficienti in K, si ha: P(\alpha_1, ..., \alpha_n) \neq 0.

In particolare, un unico elemento \alpha è algebricamente indipendente su K se e solo se è trascendente in K. In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su K sono necessariamente trascendenti su K stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali \{\sqrt{\pi}, 2\pi+1\} non è algebricamente indipendente sull'insieme \mathbb{Q} dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1 vale zero se si scelgono x_1=\sqrt{\pi} e x_2=2\pi+1.

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su \mathbb{Q}.

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di \{\pi, e^{\pi}, \Gamma(1/4)\} su \mathbb{Q}.

Data un'estensione di campi L/K, si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di L algebricamente indipendente su K. Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and eπ, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113
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