Sottoinsieme

B è propriamente incluso in A

Nella teoria degli insiemi si definisce con sottoinsieme un insieme che è contenuto in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi contenuti in B sono anche contenuti in A.

Nel caso in cui tutti gli elementi di A appartengono anche a B si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è $\subseteq$ oppure $\subset$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è $\subset$ oppure $\subsetneq$ (quando si vuole mettere in evidenza che B non coincide con A).

La notazione

$B \subset A$

si legge: "B è un sottoinsieme (proprio) di A" oppure "B è incluso (propriamente) in A" oppure "B è contenuto (propriamente) in A", ed è così definita:

$B\subset A \Leftrightarrow ( b \in B \Rightarrow b \in A )$

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è $\supseteq$ oppure $\supset$ per il sovrainsieme, e $\supset$ oppure $\supsetneq$ per il sovrainsieme proprio.

Valgono

$B \subset A \Leftrightarrow A \supset B$

$B \subseteq A \Leftrightarrow A \supseteq B$,

nonché l'utile proprietà

$( B \subseteq A \and A \subseteq B ) \Rightarrow A = B .$

L'insieme vuoto $\varnothing$ è sottoinsieme di ogni altro insieme.

Inoltre, se $B \subseteq A$, allora:

$B \cup A = A$

$B \cap A = B$

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Insieme delle parti
• $\cup$ : unione
• $\cap$ : intersezione
• $\subset$ : inclusione

Note

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