Inclusione

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B sottoinsieme di A

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con \subseteq, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme B è contenuto o incluso nell'insieme A o A è contenuto o incluso nell' insieme B se e solo se, per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A". In simboli, dati due insiemi A e B, si ha:

B \subseteq A \iff \forall x: x \in B \Rightarrow x \in A.[1]

L'insieme B si dice sottoinsieme di A.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta, per indicare che ogni elemento di B è anche elemento di A ma che esistono elementi di A che non sono elementi di B.

Nel caso in cui tutti gli elementi di A appartengono anche a B si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B, cioè nel caso dell'inclusione stretta.

B è propriamente incluso in A.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è \subseteq, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è \subset. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con \subset un sottoinsieme e con \subsetneq un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che B non coincide con A).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è \supseteq (oppure \supset) per il sovrainsieme, e \supset (oppure \supsetneq) per il sovrainsieme proprio.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Siano A=\{1,2,3,5,6,11\} e B=\{1,2,3,6,\}, allora B \subset A.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:
A \subseteq A (riflessività)
B \subseteq A \and A \subseteq B \Rightarrow B=A (antisimmetria)
C \subseteq B \and B \subseteq A \Rightarrow C \subseteq A (transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di A e B:

"A è uguale B se e solo se A è contenuto in B e B è contenuto in A",

cioè:

A = B \iff A \subseteq B \and B \subseteq A.
  • L'insieme vuoto \varnothing è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme A si ha che  \varnothing \subseteq A".
  • Valgono
B \subset A \Leftrightarrow A \supset B;
B \subseteq A \Leftrightarrow A \supseteq B.
  • Se B \subseteq A, allora:
B \cup A = A;
B \cap A = B.

Distinzione fra inclusione ed appartenenza[modifica | modifica wikitesto]

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

  • è esatta: 2 \in \{1,2,3\} - cioè 2 appartiene all'insieme \{1,2,3\}
  • è errata: 2 \subset \{1,2,3\} - cioè non si può dire che 2 è incluso nell'insieme \{1,2,3\}
  • è esatta: \{2\} \subset \{1,2,3\} - cioè il singoletto di 2 è incluso nell'insieme \{1,2,3\}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Eventualmente si deve aggiungere B \ne A per avere l'inclusione propria.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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