Insieme delle parti

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In matematica, dato un insieme S, l'insieme delle parti di S, scritto \mathcal{P}(S) , è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di S o booleano di S.

Per esempio, se S è l'insieme \{a, b, c\}, allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta:

e quindi l'insieme delle parti di S è

\mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, S\}

Cardinalità dell'insieme delle parti[modifica | modifica wikitesto]

L'argomento diagonale di Cantor mostra che l'insieme delle parti di un insieme (infinito o no[1]) ha sempre cardinalità strettamente più alta di quella dell'insieme stesso.

Insiemi finiti[modifica | modifica wikitesto]

Se S è un insieme finito con |S|=n elementi, allora l'insieme delle parti di S contiene |\mathcal{P}(S)| = 2^n sottoinsiemi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione che |\mathcal{P}(S)| = 2^n, con S insieme finito e di ordine n: (dimostrazione per induzione su n (I forma))

Se n = 0 necessariamente S \equiv \emptyset. E quindi \mathcal{P}(S) = \{ \emptyset \} \Rightarrow |\mathcal{P}(S)| = 2^0 = 1. Vera.

Sia n > 0, e supponiamo l'asserto vero per n-1. Cioè se S è un insieme tale che |S| = n-1 allora |\mathcal{P}(S)| = 2^{n-1}.

Poiché adesso si ipotizza che |S| = n > 0 necessariamente S \neq \emptyset e dovrà avere almeno un elemento. Sia x_0 un elemento dell'insieme. Un qualunque sottoinsieme di S può contenerlo o meno:

  • I sottoinsiemi che non contengono x_0, sono sottoinsiemi di S \backslash \{ x_0 \}; poiché |S \backslash \{ x_0 \}| = n-1, tali sottoinsiemi sono, per l'ipotesi induttiva 2^{n-1}.
  • I sottoinsiemi che contengono x_0, sono sottoinsiemi del tipo X \cup \{x_0 \}; con X sottoinsieme di S \backslash \{ x_0 \}; quindi anche tali sottoinsiemi sono, per l'ipotesi induttiva 2^{n-1}.

Quindi i sottoinsiemi di S sono in tutto 2^{n-1} + 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n}.

Una dimostrazione alternativa si può basare sulla bigezione fra \mathcal{P}(S) e l'insieme 2^S delle funzioni S \to \{0, 1\} citata più sotto.

Se S è un insieme finito con n elementi, è immediato che l'insieme di queste funzioni ha 2^n sottoinsiemi. Questo fornisce una dimostrazione alternativa del risultato appena visto.

Insiemi infiniti[modifica | modifica wikitesto]

Si può anche considerare l'insieme delle parti di un insieme infinito: ad esempio l'insieme delle parti dell'insieme dei numeri naturali può essere messo in una corrispondenza uno-a-uno con l'insieme dei numeri reali.
L'insieme delle parti ha un'importanza fondamentale nella teoria degli insiemi infiniti. Infatti, nell'aritmetica transfinita definita da Georg Cantor, l'operazione di "esponenziazione", nel senso di individuazione della cardinalità dell'insieme delle parti di un dato insieme infinito, è l'unico modo per avanzare nella successione dei numeri cardinali. Nell'esempio suddetto, si passa dalla cardinalità del discreto, cioè degli insiemi per i quali è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca con i naturali, come gli interi, i razionali e ogni loro prodotto cartesiano, alla cardinalità del continuo propria dei reali. Per la dimostrazione della non numerabilità del continuo, vedi l'Argomento diagonale di Cantor.

Algebra[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme delle parti di un insieme S, con le operazioni di unione, intersezione e complemento formano l'esempio prototipale di un'algebra booleana.

Infatti, si può dimostrare che ogni algebra booleana finita è isomorfica all'algebra booleana dell'insieme delle parti di un insieme finito. Per le algebre booleane infinite questo non è più vero, ma ogni algebra booleana infinita è una subalgebra di un'algebra booleana insieme delle parti.

L'insieme delle parti di un insieme S forma un gruppo abeliano quando si consideri l'operazione di differenza simmetrica (con l'insieme vuoto come sua unità ed ogni insieme essendo il suo inverso) ed un semigruppo commutativo quando si consideri l'operazione di intersezione. Si può quindi dimostrare (provando le leggi distributive) che l'insieme delle parti, considerato assieme a entrambe queste operazioni, forma un anello commutativo.

Bigezione con l'insieme 2S[modifica | modifica wikitesto]

Nella teoria degli insiemi, X^Y è l'insieme di tutte le funzioni da Y a X. Il numero naturale 2 può essere definito insiemisticamente: 2= \left\{{0,1} \right\} (vedi numeri naturali), quindi 2^S è l'insieme di tutte le funzioni da S a {0,1}.

Identificando una funzione in 2^S con la preimmagine corrispondente di 1, si osserva che c'è una biiezione tra 2^S e \mathcal{P}(S):

\begin{matrix} \ f:\mathcal{P}(S) \longrightarrow 2^S \\ A \longmapsto \chi_A \end{matrix}

dove ogni funzione \chi_A viene detta la funzione caratteristica del sottoinsieme A in \mathcal{P}(S) ed è definita in questo modo:

\begin{matrix} \ f:S \longrightarrow 2=\{0, 1\} \\
x \longmapsto \left\{\begin{matrix} 
1\quad \mbox{se}\ x \in A \\
0\quad \mbox{se}\ x \notin A
\end{matrix}\right.\ \end{matrix}

Quindi |\mathcal{P}(S)|=|2^S|.

Assioma dell'insieme potenza[modifica | modifica wikitesto]

Nella teoria assiomatica degli insiemi (come sviluppata a partire dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel), l'esistenza dell'insieme delle parti di qualsiasi insieme, anche infinito, è oggetto di un postulato detto assioma dell'insieme potenza.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Per la dimostrazione sugli insiemi infiniti è necessario l'assioma della scelta.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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