Cardinalità del continuo

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In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali \mathbb{R} (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere \mathfrak c,

\mathfrak c = |\mathbb{R}|.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Non numerabilità[modifica | modifica sorgente]

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che \mathfrak c è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con \aleph_0 (aleph-zero):

\aleph_0 < \mathfrak c.

In altre parole, esistono più numeri reali che numeri interi. Cantor dimostrò questa affermazione in diversi modi, si vedano le voci sulla prima dimostrazione di non numerabilità di Cantor e sull'argomento diagonale di Cantor.

Uguaglianze tra numeri cardinali[modifica | modifica sorgente]

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè  |A| < 2^{|A|}. Si può concludere che l'insieme delle parti \mathcal{P}(\mathbb{N}) dell'insieme dei numeri naturali \mathbb{N} è non numerabile. È dunque naturale chiedersi se la cardinalità di \mathcal{P}(\mathbb{N}) sia uguale a \mathfrak c. La risposta è affermativa. Si può dimostrare questa affermazione in due passi:

  1. Si definisce una applicazione f:\mathbb{R}\to\mathcal{P}(\mathbb{Q}) dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale x l'insieme \{q \in \mathbb{Q} | q \le x\} di tutti i razionali minori o uguali a x (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che \mathfrak c \le 2^{\aleph_0}.
  2. Sia \{0,2\}^\mathbb{N} l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme \{0,2\}. Questo insieme ha cardinalità 2^{\aleph_0} (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e \mathcal{P}(\mathbb{N}) è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni a_i al numero reale appartenente all'intervallo unitario [0,1] che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione a_i. Questo significa che la i-esima cifra dopo la virgola è data proprio da a_i. L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 1 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che 2^{\aleph_0} \le \mathfrak c.

Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che

\mathfrak c = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}.

Numeri beth[modifica | modifica sorgente]

La successione dei numeri beth è definita ponendo \beth_0 = \aleph_0 e \beth_{k+1} = 2^{\beth_k}. Dunque \mathfrak c è il secondo numero beth, beth-uno

\mathfrak c = \beth_1.

Il terzo numero beth, \beth_2 = 2^\mathfrak c, è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.

Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che

\mathfrak c = n \mathfrak c = \aleph_0 \mathfrak c = \mathfrak c^n = n^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = \mathfrak c^{\aleph_0}

dove n è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

L'ipotesi del continuo[modifica | modifica sorgente]

La famosa ipotesi del continuo afferma che \mathfrak c è anche il primo numero aleph, cioè \aleph_1. In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme A avente cardinalità strettamente compresa tra \aleph_0 e \mathfrak c:

\nexists A : \aleph_0 < |A| < \mathfrak c.

Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale n diverso da zero, l'uguaglianza \mathfrak {c} = \aleph_n è indipendente da ZFC (il caso n=1 è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio \mathfrak{c}\neq\aleph_\omega. In particolare, \mathfrak{c} può essere uguale a \aleph_1 oppure a \aleph_{\omega_1}, dove \omega_1 rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi \mathfrak{c} può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

Insiemi con cardinalità \mathfrak c[modifica | modifica sorgente]

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a \mathfrak c. Per esempio:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Le funzioni da \mathbb{R} in \mathbb{R} (o da \mathbb{C} in \mathbb{C}) applicano a ogni punto di \mathbb{R} (o di \mathbb{C}) un punto di \mathbb{R} (o \mathbb{C}): il loro spazio ha dunque dimensione \mathfrak c^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c}; per le funzioni continue, ci basta fissare i valori assunti dalla funzione nelle sue coordinate razionali, ottenendo così uno spazio di dimensione \mathfrak c^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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