Unione (insiemistica)

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Nella teoria degli insiemi esiste un'operazione detta unione (simbolo \cup ) di insiemi. Dati due insiemi A e B, la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

  • al solo insieme A,
  • al solo insieme B,
  • a entrambi.

L'unione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con "A \cup B". x è un elemento di A \cup B se, e solo se, x è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:

(x \in A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B)

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi hanno intersezione vuota. In generale, data una arbitraria famiglia \{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\} di insiemi, l'unione è definita come l'insieme \cup_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha a cui un elemento x appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli A_\alpha.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}.

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

  • A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4,
  • B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6.

 A \cup B è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e/o per 6.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'unione di due insiemi
Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

A \cup B = B \cup A

Infatti

x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B \cup A

L'unione è un'operazione associativa:

( A \cup B ) \cup C = A \cup (B \cup C )

Infatti

x \in ( A \cup B ) \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup  B \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in C \Leftrightarrow
 x \in A \vee x \in B \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo A U B U C.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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