Unione (insiemistica)

Nella teoria degli insiemi, l'unione di due insiemi A e B è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi.

L'unione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

Definizione

L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con "$A \cup B$". Quindi x è un elemento di $A \cup B$ se, e solo se, x è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:

$(x \in A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B)$

L'unione di due insiemi è detta disgiunta se essi hanno intersezione vuota;

Più in generale, data una famiglia qualsiasi $\{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\}$ di insiemi, l'unione è definita come quell'insieme $\cup_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha$ a cui un elemento x appartiene se e solo se x appartiene ad almeno uno degli $A_\alpha$.

Esempi

Come esempio elementare si possono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: Siano A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6. In questo caso, $A \cup B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 o per 6 (o entrambi).

Proprietà

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

$A \cup B = B \cup A$

Infatti

$x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B \cup A$

L'unione è inoltre un'operazione associativa:

$( A \cup B ) \cup C = A \cup (B \cup C )$

Infatti

$x \in ( A \cup B ) \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup B \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in C \Leftrightarrow$

$x \in A \vee x \in B \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente A U B U C.

Voci correlate

• Intersezione
• Differenza (insiemistica)
• Teoria degli insiemi

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Unione (insiemistica)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica