Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel

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In matematica, e in particolare in logica matematica, la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel comprende gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne. Sono indicati come assiomi Zermelo–Fraenkel della teoria degli insiemi o sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, e abbreviati con ZF.

Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem del 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908 (teoria degli insiemi di Zermelo).

Il sistema assiomatico è scritto mediante un linguaggio del primo ordine; ha un numero infinito di assiomi poiché viene usato uno schema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di una classe in aggiunta a quello di un insieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasi teorema riguardo agli insiemi che può essere provato in un sistema può essere provato nell'altro.

Si indica con la sigla ZFC il sistema formale dato dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel con l'aggiunta dell'assioma della scelta: data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. La "C" nella sigla è l'iniziale di choice (scelta in inglese): per lo stesso motivo, l'assioma della scelta viene spesso abbreviato con le lettere AC (la "A" sta per "axiom").

Linguaggio[modifica | modifica wikitesto]

Il linguaggio di ZF include:

  • simboli per variabili: x, y, z, x_1, x_2, x_3, x_4, ...
  • costanti individuali: \emptyset
  • simboli per relazioni binarie: =, \in
  • simboli per connettivi logici, quantificatori e parentesi

Assiomi[modifica | modifica wikitesto]

Gli assiomi di ZF sono:

Indichiamo un tale A con \emptyset o con {}.[1].

  • Assioma della coppia: Se A e B sono insiemi, allora esiste un insieme contenente A e B come suoi soli elementi
    \forall A \forall B (\exist C (\forall D( D \in C \iff (D = A \or D = B))))

Indichiamo un tale C con {A,B}. [1]

Indichiamo un tale B con \bigcup A o con \bigcup_{x \in A} x. [1]

  • Assioma dell'infinito: Esiste un insieme A tale che \emptyset è in A ed ogni qual volta B è in A, (B ∪ {B}) è in A.
    \exist A ( \emptyset \in A \and (\forall B ( B \in A \implies B \cup \{B\} \in A)))

Un tale A viene solitamente indicato con ω o, in quanto rispettante gli assiomi di Peano, con il simbolo utilizzato solitamente per indicare un generico modello di Peano: \mathbb{N}. [1]

Indichiamo un tale B, che viene solitamente detto insieme potenza o insieme delle parti di A, con  \mathcal{P} (A).[1]

Un tale insieme viene solitamente indicato con \{x | x \in A \land P(x)\} [1]

Questo è uno schema assiomatico, in quanto come P possiamo porre una qualsiasi proprietà, e ogni volta che lo facciamo stiamo formalmente creando un nuovo assioma.

  • Assioma di rimpiazzamento: sia P(B, C) una proprietà. Se P è un funzionale (ad ogni B corrisponde uno ed un solo C per cui P(B, C) ), allora dato un insieme A esiste un insieme D contenente tutte e sole le immagini di elementi di A secondo P (chiamiamo immagine di B quel C tale che P(B, C) ).
    \forall B (\exist C ( P(B, C)) \land (P(B,C) \land P(B,C') \rightarrow C=C')) \rightarrow \forall A (\exist D (\forall C(C \in D \iff \exist B (B \in A \and P(B, C)))))

Anche questo, come il precedente, è uno schema assiomatico.

Coerenza ed importanza della ZF[modifica | modifica wikitesto]

Sebbene la maggioranza dei metamatematici creda che questi assiomi siano coerenti (nel senso che da essi non deriva alcuna contraddizione), questo non è dimostrato. Essi sono da molti ritenuti le fondamenta della matematica ordinaria e la loro coerenza non può essere provata dalla matematica ordinaria, come dimostrato da Gödel con il suo celebre secondo teorema di incompletezza.

La coerenza della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel può però essere provata assumendo l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di \aleph_0.

ZF e ZFC[modifica | modifica wikitesto]

Il tentativo riduzionista dei logici di rifondare tutta la matematica moderna su basi insiemistiche si è scontrato con il fatto che alcuni risultati importanti basilari non sono dimostrabili con i soli assiomi di Zermelo. È quindi necessario aggiungere l'assioma della scelta, e il nuovo sistema formale che ne risulta viene solitamente chiamato ZFC, dove la "C" sta per "choice" ("scelta").

Coerenza di ZFC[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1938 Kurt Gödel costruì un modello basato sulla ZF in cui l'assioma della scelta è valido (il modello è noto come Universo degli insiemi costruibili).

In tal modo egli dimostrò che se ZF è coerente, lo è anche ZFC (l'unione degli assiomi della ZF e dell'assioma della scelta).

Basandosi su tale presupposto, e sull'ipotesi, solitamente data per vera, che ZF sia coerente, i logici hanno visto nella ZFC la possibilità di fondare tutta la matematica su basi insiemistiche, dato che l'assioma della scelta si rivela indispensabile per raggiungere tutta una serie di risultati molto importanti (come l'esistenza di una base per un dato spazio vettoriale). Per questo motivo, nonostante tale assioma porti anche a risultati controintuitivi (come l'insieme di Vitali e il paradosso di Banach-Tarski), esso viene solitamente considerato vero.

Si è dovuto aspettare però il 1964 perché Cohen dimostrasse l'indipendenza dell'assioma della scelta dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel (ovvero che se ZF è coerente anche ZF\lnotC, l'unione degli assiomi della ZF e della negazione dell'assioma della scelta, lo è). In tal modo egli provò che effettivamente ZF e ZFC non sono la stessa cosa: la sua dimostrazione si basa sulla creazione di un modello in cui valgono tutti gli assiomi di ZF e la negazione dell'assioma della scelta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b c d e f La possibilità di assegnare un simbolo ad un dato insieme ci deriva dalla dimostrazione, facilmente ottenibile in virtù dell'assioma di estensionalità, che tale insieme è unico.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Alexander Abian, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.
  • Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.
  • Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Azriel Levy, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland. Fraenkel's final word on ZF and ZFC.
  • Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.
  • Thomas Jech, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kenneth Kunen, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  • Richard Montague, 1961, "Semantic closure and non-finite axiomatizability" in Infinistic Methods. London: Pergamon: 45-69.
  • Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover reprint. Perhaps the best exposition of ZFC before the independence of AC and the Continuum hypothesis, and the emergence of large cardinals. Includes many theorems.
  • Gaisi Takeuti and Zaring, W M, 1971. Introduction to Axiomatic Set Theory. Springer Verlag.
  • Alfred Tarski, 1939, "On well-ordered subsets of any set,", Fundamenta Mathematicae 32: 176-83.
  • Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory. Dover reprint. Weak on metatheory; the author is not a mathematician.
  • Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
  • Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Fraenkel, and Skolem bearing on ZFC.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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