Teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel

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Gli assiomi Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi (ZF) sono gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne.

Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem del 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908 (teoria degli insiemi di Zermelo).

Il sistema assiomatico è scritto mediante un linguaggio del primo ordine; ha un numero infinito di assiomi poiché viene usato uno schema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di una classe in aggiunta a quello di un insieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasi teorema riguardo gli insiemi che può essere provato in un sistema può essere provato nell'altro.

Indice

[modifica] Linguaggio

Il linguaggio di ZF include:

  • simboli per variabili: x, y, z, x1, x2, x3, x4, ...
  • costanti individuali: \emptyset
  • simboli per relazioni binarie: = , \in
  • simboli per connettivi logici, quantificatori e parentesi

[modifica] Assiomi

Gli assiomi di ZF sono:

Indichiamo un tale A con \emptyset o con {}.[1].

  • Assioma della coppia: Se A e B sono insiemi, allora esiste un insieme contenente A e B come suoi soli elementi
    \forall A \forall B (\exist C (\forall D( D \in C \iff (D = A \or D = B))))

Indichiamo un tale C con {A,B}. [1]

Indichiamo un tale B con \bigcup A o con \bigcup_{x \in A} x. [1]

  • Assioma dell'infinito: Esiste un insieme A tale che \emptyset è in A ed ogni qual volta B è in A, (B ∪ {B}) è in A.
    \exist A ( \emptyset \in A \and (\forall B ( B \in A \implies B \cup \{B\} \in A)))

Un tale A viene solitamente indicato con ω o, in quanto rispettante gli assiomi di Peano, con il simbolo utilizzato solitamente per indicare un generico modello di Peano: \mathbb{N}. [1]

Indichiamo un tale B, che viene solitamente detto insieme potenza o insieme delle parti di A, con \mathcal{P} (A).[1]

Un tale insieme viene solitamente indicato con \{x | x \in A \land P(x)\} [1]

Questo è uno schema assiomatico, in quanto come P possiamo porre una qualsiasi proprietà, e ogni volta che lo facciamo stiamo formalmente creando un nuovo assioma.

  • Assioma di rimpiazzamento: sia P(B, C) una proprietà. Se P è un funzionale (ad ogni B corrisponde uno ed un solo C per cui P(B, C) ), allora dato un insieme A esiste un insieme D contenente tutte e sole le immagini di elementi di A secondo P (chiamiamo immagine di B quel C tale che P(B, C) ).
    \forall B (\exist C ( P(B, C)) \land (P(B,C) \land P(B,C') \rightarrow C=C')) \rightarrow \forall A (\exist D (\forall C(C \in D \iff \exist B (B \in A \and P(B, C)))))

Anche questo, come il precedente, è uno schema assiomatico.

[modifica] Coerenza ed importanza della ZF

Sebbene la maggioranza dei metamatematici credano che questi assiomi siano coerenti (nel senso che da essi non deriva alcuna contraddizione), questo non è dimostrato. Essi sono da molti ritenuti le fondamenta della matematica ordinaria e la loro coerenza non può essere provata dalla matematica ordinaria, come dimostrato da Gödel con il suo celebre secondo teorema di incompletezza.

La coerenza della teoria degli insemi di Zermelo-Fraenkel può però essere provata assumendo l'esistenza di un cardinale inaccessible.

[modifica] ZF e ZFC

Il tentativo riduzionista dei logici di rifondare tutta la matematica moderna su basi insiemistiche si è scontrato con il fatto che alcuni risultati importanti basilari non sono dimostrabili con i soli assiomi di Zermelo. È quindi necessario aggiungere l'assioma della scelta, e il nuovo sistema formale che ne risulta viene solitamente chiamato ZFC, dove la "C" sta per "choice" ("scelta").


[modifica] Voci correlate

[modifica] Note

  1. ^ a b c d e f La possibilità di assegnare un simbolo ad un dato insieme ci deriva dalla dimostrazione, facilmente ottenibile in virtù dell'assioma di estensionalità, che tale insieme è unico.


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo_-_Fraenkel"
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