Cardinale inaccessibile

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In teoria degli insiemi, un numero cardinale \aleph_\alpha si dice inaccessibile se:

  • \aleph_\alpha non è un cardinale successore (ovvero \alpha non è un ordinale successore)
  • \aleph_\alpha è regolare, ovvero data una famiglia di cardinali \{K_i\}_{i \in I}, si ha:
K_i < \aleph_\alpha, |I| < \aleph_\alpha \Rightarrow \sum_{i \in I} K_i < \aleph_\alpha
  • \beta < \aleph_\alpha \rightarrow 2^\beta < \aleph_\alpha

Questi requisiti sono soddisfatti da \aleph_0: l'unione di finiti insiemi finiti è sempre un insieme finito, così come l'insieme potenza di un insieme finito è sempre finito.

Però oltre \aleph_0 non si conosce nessun cardinale che soddisfi questi requisiti. Anzi, si può dire di più.

Si può infatti dimostrare che se esistesse un qualsiasi cardinale inaccessibile K maggiore di \aleph_0, allora V_K sarebbe un buon modello per la ZF, dove V_i è l'i-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann; dimostrare che un tale cardinale inaccessibile esiste equivarrebbe a dimostrare che esiste un modello per la ZF, ovvero a dimostrare la coerenza di ZF.

D'altronde, il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che la coerenza di ZF non può essere dimostrata all'interno della ZF stessa; da ciò deriva che l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di \aleph_0 non è decidibile all'interno della ZF (su cui si basa la costruzione formale di tutta la matematica moderna).

Riassumendo in formule:  ZF \vdash \left [(V_\alpha \vDash ZF) \Leftrightarrow (\exists \alpha \text{ cardinale inaccessibile} > \aleph_0) \right ] \Rightarrow ZF \not \vdash (\exists \alpha \text{ cardinale inaccessibile } > \aleph_0)

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