Teoria degli insiemi

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La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, e le convenzioni linguistico-formali col contributo di Gottlob Frege (quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.

Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi.

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.

Nozioni di base[modifica | modifica wikitesto]

Operatori e costruzioni[modifica | modifica wikitesto]

Relazioni[modifica | modifica wikitesto]

inclusione: \subseteq[modifica | modifica wikitesto]
disgiunzione[modifica | modifica wikitesto]
non confrontabilità[modifica | modifica wikitesto]
relazioni su un insieme[modifica | modifica wikitesto]
Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità[modifica | modifica wikitesto]
Insieme vuoto: \emptyset[modifica | modifica wikitesto]
Insieme finito[modifica | modifica wikitesto]
Insieme numerabile[modifica | modifica wikitesto]
Insieme ricorsivo[modifica | modifica wikitesto]
Insieme ricorsivamente enumerabile[modifica | modifica wikitesto]
Insieme con la potenza del continuo[modifica | modifica wikitesto]
Cardinalità[modifica | modifica wikitesto]
Numero transfinito[modifica | modifica wikitesto]
Insiemi numerici[modifica | modifica wikitesto]
numeri naturali[modifica | modifica wikitesto]
numeri interi o numeri relativi[modifica | modifica wikitesto]
numeri razionali[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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