Teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.

Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi.

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.

Nozioni di base

• elemento
• insieme, chiamato anche assieme, aggregato, collezione, set
• sottoinsieme
• filtro
• ultrafiltro

Operatori e costruzioni

• unione: $\cup$ (OR nell'Algebra Booleana)
• intersezione: ∩ (AND nell'Algebra Booleana)
• complemento: ^C (NOT nell'Algebra Booleana)
• differenza: \
• differenza simmetrica: Δ (XOR nell'Algebra Booleana)
• prodotto cartesiano
• insieme potenza o insieme delle parti
• Somma disgiunta

Relazioni

• appartenenza: ∈
• inclusione: ⊂
• disgiunzione
• non confrontabilità
• relazioni su un insieme

Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità

• Insieme vuoto: Ø
• Insieme finito
• Insieme numerabile
• Insieme ricorsivo
• Insieme ricorsivamente enumerabile
• Insieme con la potenza del continuo
• Cardinalità
• Numero transfinito

Insiemi numerici

• numeri naturali
• numeri interi o numeri relativi
• numeri razionali
• numeri reali
• numeri irrazionali
• numeri algebrici
• numeri trascendenti
• numeri costruibili
• numeri complessi

Bibliografia

• (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6
• (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann
• (EN) Robert E. Edwards (1979): A formal Background to Mathematics Ia. Logic, sets and Numbers, Springer, ISBN 3-540-90431-X
• (EN) Robert E. Edwards (1979): A formal Background to Mathematics Ib. Logic, sets and Numbers, Springer, ISBN 3-540-90431-X

Voci correlate

• Matematica
• Insieme sfocato o insieme fuzzy
• Luogo geometrico
• Teoria delle categorie
• Analisi non standard

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