Analisi complessa

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Rappresentazione della funzione complessa

f (z) = (z 2 - 1)(z - 2 - 2 i) /

(z 2 + 2 + 2 i)

. La tonalità rappresenta l'argomento della funzione, mentre l'intensità rappresenta il modulo.

L'analisi complessa (più precisamente, la teoria delle funzioni di variabili complesse) è quella branca dell'analisi matematica che applica le nozioni di calcolo infinitesimale alle funzioni complesse, cioè alle funzioni definite che hanno per dominio e codominio insiemi di numeri complessi.

Il protagonista dell'analisi complessa è la funzione olomorfa: questa è una funzione complessa su cui è definita una nozione di derivata, in modo identico a quanto fatto per le usuali funzioni reali. Una estensione di questo concetto è la funzione meromorfa.

L'analisi complessa è estremamente utile in numerose branche della matematica, come ad esempio la Teoria dei numeri e la geometria algebrica; ha notevoli applicazioni anche in fisica.

[modifica] Funzioni olomorfe

Per approfondire, vedi le voci Funzione olomorfa e Equazioni di Cauchy-Riemann.

[modifica] Definizione

L'analisi complessa applica le tecniche del calcolo infinitesimale ai numeri complessi. Per fare questo, è necessario modellizzare i numeri complessi nel piano complesso, dotato della usuale topologia euclidea del piano. La topologia permette quindi di parlare di successioni, di limiti, di insiemi aperti e chiusi del piano.

L'analisi complessa studia generalmente funzioni

$f:A\to \mathbb C$

definite su un aperto $A$ del piano complesso $\mathbb C$ , a valori complessi. In modo del tutto analogo a quanto fatto nel caso reale, una tale funzione è derivabile in senso complesso in un punto se il rapporto incrementale ha limite nel punto. Se la funzione è derivabile in senso complesso su ogni punto di $A$ , questa è una funzione olomorfa.

[modifica] Relazione con la differenziabilità

Usando l'identificazione di $\mathbb C$ con $\R^2$ , la funzione $f$ può essere interpretata come funzione da un aperto di $\R^2$ in $\R^2$ . Una funzione derivabile in senso complesso è necessariamente differenziabile se interpretata in questo modo. Non è vero però l'opposto. La condizione di derivabilità in senso complesso per una funzione differenziabile è sintetizzata nelle equazioni di Cauchy-Riemann.

[modifica] Mappe conformi

La derivata di una funzione olomorfa non costante si annulla solo in alcuni punti isolati. Nel resto del dominio, si comporta come in figura: distorce le curve ma mantiene gli angoli fra queste (nella figura, restano ortogonali).

Una funzione olomorfa avente derivata ovunque diversa da zero è una mappa conforme: è una mappa che preserva gli angoli, ma non necessariamente le distanze. Questa proprietà è dovuta al fatto che una funzione olomorfa è (come nel caso reale) approssimabile localmente da una funzione lineare, e dal fatto che le funzioni lineari sul piano complesso sono composizioni di omotetie e rotazioni, entrambe operazioni conformi.

[modifica] Funzioni armoniche

D'altra parte, la parte reale e la parte immaginaria di una funzione olomorfa sono entrambe funzioni armoniche: alcune proprietà delle funzioni armoniche, come quella di non ammettere massimi e minimi locali, sono ereditate dalle funzioni olomorfe.

[modifica] Formula di Cauchy

Per approfondire, vedi la voce Formula di Cauchy.

L'ingrediente fondamentale dell'analisi complessa, che non ha analogie nell'analisi reale, è la formula di Cauchy. Questa formula mette in relazione il valore $f (z)$ di una funzione olomorfa in un punto con l'integrale di una funzione costruita a partire da $f$ lungo una curva semplice chiusa $γ$ che "circonda" il punto $z$ , nel modo seguente:

$f(z) = \frac {1} {2\pi i} \cdot \oint_{\gamma} \frac {f(w)}{w - z} \,dw .$

Dalla formula di Cauchy seguono molte proprietà delle funzioni olomorfe, che non hanno analogie nell'ambito dell'analisi reale. Alcune di queste proprietà sono descritte brevemente qui sotto.

[modifica] Analiticità

Una funzione olomorfa è sempre analitica, ovvero è localmente esprimibile come serie di potenze. In altre parole, in ambito complesso l'esistenza della derivata prima è sufficiente a garantire non solo l'esistenza di derivate di ogni ordine, ma anche l'analiticità della funzione. Questo fatto non avviene in ambito reale.

[modifica] Teorema di Liouville

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Liouville.

Una funzione olomorfa è intera se è definita su tutto il piano complesso. Le funzioni intere sono quelle funzioni che in ogni punto hanno una rappresentazione come serie di potenze con raggio di convergenza infinito. Le funzioni intere sono soggette a molte restrizioni. Tra queste, il teorema di Liouville asserisce che una funzione intera non costante non può avere modulo limitato sul piano.

Non esistono quindi in ambito complesso funzioni come l'arcotangente reale, che siano definite su tutto $\mathbb C$ ma con modulo uniformemente limitato.

[modifica] Teorema del massimo modulo

Per approfondire, vedi la voce Teorema del massimo modulo.

Per il teorema del massimo modulo, il modulo $| f (z) |$ di una funzione olomorfa $f$ definita su un aperto $A$ non può assumere massimo. Se il dominio $A$ è limitato e la funzione $f$ è estendibile con continuità alla chiusura di $A$ , il modulo ammette massimo su uno dei punti del bordo.

[modifica] Esempi di funzioni olomorfe

[modifica] Rapporto fra polinomi

Ogni funzione definita a partire dalle quattro operazioni aritmetiche è olomorfa nell'aperto in cui è ben definita. Ad esempio, se $p (z)$ e $q (z)$ sono due polinomi, la funzione

$f(z)=\frac {p(z)}{q(z)}$

è olomorfa sull'aperto $A$ ottenuto rimuovendo da $\mathbb C$ i punti corrispondenti alle radici di $q$ .

[modifica] Funzioni analitiche

Per approfondire, vedi la voce Funzione analitica.

Il prolungamento analitico di una funzione analitica lungo una curva nel piano.

Ogni funzione analitica reale si estende in modo unico ad una funzione olomorfa. Il procedimento con cui le funzioni olomorfe vengono estese in modo unico è detto prolungamento analitico. In particolare, le funzioni esponenziale, seno, e le altre funzioni trigonometriche sono funzioni olomorfe.

La parte reale del seno complesso in un rettangolo del piano.

Il comportamento delle funzioni esponenziale e seno in ambito complesso è più ricco di quanto "viene visto" in ambito reale. Ad esempio, per il teorema di Liouville la funzione seno non è limitata nel piano complesso (in contrasto con quanto accade sui reali, ove oscilla tra -1 e 1). Anzi, la funzione seno è surgettiva sui complessi.

[modifica] Serie di Laurent

Per approfondire, vedi la voce Serie di Laurent.

Una serie di Laurent centrata in un fissato punto $c$ del piano complesso è una serie del tipo

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n.$

La serie è simile ad una serie di Taylor: l'unica differenza sta nella possibile presenza di termini con esponenti negativi. Come le serie di Taylor, una serie di Laurent può essere convergente in una delimitata zona del piano: in questo caso la zona è un disco o un anello centrato in $c$ . Molte funzioni olomorfe sono agevolmente descritte tramite una serie di Laurent (ad esempio, quelle aventi una singolarità isolata in $c$ ).

[modifica] Funzioni non olomorfe

Esempi di funzioni complesse ma non olomorfe sono la coniugazione complessa, il passaggio alla parte reale (o immaginaria) e la funzione valore assoluto (anche al quadrato).

[modifica] Funzioni meromorfe

Per approfondire, vedi la voce Funzione meromorfa.

[modifica] Singolarità isolate

Per approfondire, vedi la voce Singolarità isolata.

Un altro concetto centrale dell'analisi complessa è quello di singolarità isolata. Una funzione olomorfa

$f:A\setminus \{z_0\} \to \mathbb C$

definita su un aperto $A$ , meno un suo punto interno $z 0$ , ha una singolarità isolata in $z 0$ . Differentemente da quanto accade per le funzioni reali, il comportamento della funzione vicino $z 0$ è catalogabile in tre tipologie, determinate dal comportamento del modulo $| f (z) |$ vicino al punto:

Se $| f (z) |$ è limitato in un intorno di $z 0$ , la singolarità è eliminabile: la funzione è estendibile con continuità al punto, e l'estensione è ancora olomorfa.
Se $| f (z) |$ tende a infinito per $z$ tendente a $z 0$ , la singolarità è un polo.
In tutti gli altri casi, $| f (z) |$ non ha limite per $z$ tendente a $z 0$ , e la singolarità è detta essenziale.

[modifica] Sfera di Riemann

Per approfondire, vedi la voce Sfera di Riemann.

Se la funzione ha in $z 0$ una singolarità eliminabile, questa si estende ad una funzione olomorfa su $A$ . Se ha un polo, è possibile ugualmente estendere la funzione ponendo $f(z)=+\infty$ . Il risultato di questa operazione è un nuovo tipo di funzione, detta meromorfa.

Le funzioni meromorfe si comportano localmente come le funzioni olomorfe: è sufficiente aggiungere al piano complesso il punto $+\infty$ tramite la proiezione stereografica. Lo spazio che si ottiene è topologicamente equivalente alla sfera, ed è detto sfera di Riemann. Viene spesso identificato con la retta proiettiva complessa $\mathbb {CP}^1$ . Una funzione meromorfa è quindi una particolare funzione

$f:A\to\mathbb {CP}^1.$

Con questa costruzione, il punto all'infinito è trattato come tutti gli altri, ed è possibile tradurre molti risultati sulle funzioni olomorfe nel contesto delle funzioni meromorfe. Analoga estensione può essere quindi ammessa sul dominio: $A$ è un qualsiasi aperto di $\mathbb {CP}^1$ ; un tale aperto è un usuale aperto di $\mathbb C$ oppure tutta la sfera.

Ad esempio, una trasformazione di Möbius

$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$

dove $a, b, c, d$ sono complessi e

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\neq 0$

è una funzione meromorfa

$f:\mathbb {CP}^1\to\mathbb {CP}^1.$

Tale funzione è anche una corrispondenza biunivoca.

[modifica] Biolomorfismi

Per approfondire, vedi le voci Biolomorfismo e Teorema di uniformizzazione di Riemann.

Il fiocco di neve di Koch è un aperto del piano il cui bordo non è una curva ma un più complicato frattale. Per quanto complicato, questo aperto è biolomorfo al disco aperto.

In matematica, ogni categoria ha i suoi isomorfismi. Nell'ambito dell'analisi complessa, un isomorfismo fra due aperti $A$ e $B$ di $\mathbb C$ (e più generalmente, di $\mathbb {CP}^1$ ) è una funzione

$f:A\to B\,\!$

che sia olomorfa, iniettiva, suriettiva, e la cui inversa sia anch'essa olomorfa. Una tale funzione è detta biolomorfismo.

Una tappa fondamentale dell'analisi complessa, risolta alla fine del XIX secolo, è stata la classificazione degli aperti semplicemente connessi a meno di biolomorfismo. Sorprendentemente, ci sono solo tre aperti semplicemente connessi a meno di biolomorfismo. Questi sono:

Il disco aperto $\Delta = \{z\in\mathbb C\ |\ |z|<1\}$ ,
Il piano $\mathbb C$ ,
La sfera di Riemann $\mathbb {CP}^1$ .

Questo risultato è una parte importante del Teorema di uniformizzazione di Riemann. In particolare, qualsiasi aperto semplicemente connesso di $\mathbb C$ che non sia tutto il piano è biolomorfo al disco aperto: non soltanto le parti interne di poligoni come il quadrato, ma anche aperti più complicati come il fiocco di neve di Koch sono biolomorfi al disco aperto.

[modifica] Bibliografia

F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896)
J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn & co., Boston, 1914)
E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915)
T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917)
H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913)
A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918)
J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert & co., 1898)
E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922)
E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn & co. 1916)
E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn & co. 1916)
S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952)
(FR) J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
(FR) E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893)

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