Funzione lineare

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Esempio di funzioni lineari

In matematica, per funzione lineare si intende:

Funzione polinomiale[modifica | modifica wikitesto]

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale x a valori reali della forma:

f(x) = mx+c\;

con m e c costanti reali. Se m>0 la funzione è strettamente crescente, se m<0 la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

y=mx+c

la costante m viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, mentre c è chiamata intercetta con l'asse delle y. In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto (0,c); la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto (-c / m,0), come si ricava imponendo y=0 e risolvendo la equazione 0 = m x + c; quando però m=0 la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse Ox solo all'infinito.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali x e y a valori reali si intende una funzione della forma:

f(x,y) = mx + ny + c

essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto (0, 0, c), l'asse Ox in (- c / m , 0, 0), o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in (0, - c / n , 0), o all'infinito se n=0.

Trasformazione lineare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione lineare.

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale V su un campo K, si intende una funzione che soddisfa le 2 proprietà:

f(x + y) = f(x) + f(y) \qquad \forall x,y \in V
f(ax) = af(x) \qquad \forall a \in K \quad \forall x \in V

rispettivamente di additività e omogeneità.

Equivalentemente si può chiedere che:

 f(a_1x_1+a_2x_2) \,=\, a_1 f(x_1) + a_2 f(x_2) \qquad \forall x_1, x_2 \in V \quad \forall a_1, a_2 \in K

In questa definizione x, y, x_1 e x_2 possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo K o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo R. La funzione f a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come \R, \mathbb{C}, \R^n, \mathbb{C}^n.

Per la funzione considerata inizialmente:

f(x)\,=\,mx+c

i due membri dell'uguaglianza sono:

 m(a_1x_1+a_2x_2)+c \qquad a_1(mx_1+c) + a_2(mx_2+c)

e questi sono uguali se e solo se c = 0.

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

 \begin{align}
f(x) &= 2x + 1 \qquad &(m=2; \ c=1) \\
f(x) &= x \qquad &(m=1; \ c=0) \\
f(x) &= 9 \qquad &(m=0; \ c=9) \\
f(x) &= -3x + 4 \qquad &(m=-3; \ c=4)
\end{align}

Si osserva che al crescere di m a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, mentre facendo assumere ad m valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante c la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di c partendo da 0.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Stewart 2012, p. 23
  2. ^ Shores 2007, p. 71

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
  • (EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
  • (EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
  • (EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

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