Modulo (algebra)

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In matematica, e in particolare in algebra, un modulo è una struttura algebrica che generalizza il concetto di spazio vettoriale richiedendo che gli scalari non costituiscano un campo ma un anello: un modulo su un anello A è quindi un gruppo abeliano M su cui è definita un'operazione che associa ad ogni elemento di A e ad ogni elemento di M un nuovo elemento di M.

Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una base, e quindi non è possibile definire una dimensione che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello A - è parte integrante della teoria dei moduli.

La nozione di modulo è centrale nell'algebra commutativa e nell'algebra omologica, e forma la base della teoria delle rappresentazioni dei gruppi; è inoltre usata nella geometria algebrica e nella topologia algebrica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello. Un A-modulo sinistro M è un gruppo abeliano (M,+) su cui è definita un'operazione A\times M \mapsto M tale che

  1. a(v+w)=av+aw per ogni a\in A,~v,w\in M;
  2. (a+b)v=av+bv per ogni a,b\in A,~v\in M;
  3. (ab)v=a(bv) per ogni a,b\in A,~v\in M.

Analogamente, A-modulo destro è un M su cui è definita un'operazione M\times A \mapsto M su cui valgono analoghi assiomi, ma in cui a e b sono scritti a destra degli elementi di M; mentre nelle prime due proprietà questa differenza è solo cosmetica, nella terza questa è reale, in quanto ab non è, in generale, uguale a ba. Se l'anello A è commutativo, allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono.

Se M è contemporaneamente un A-modulo destro e sinistro, e se le due moltiplicazioni sono compatibili (ovvero se vale

(av)b=a(vb)

per ogni a,b\in A,~v\in M) allora M è detto bimodulo (o modulo bilatero); tale struttura può essere generalizzata nel caso in cui la moltiplicazione destra e sinistra avviene in due anelli diversi, ovvero se M è un A-modulo sinistro e un B-modulo destro e le due moltiplicazioni sono compatibili: in tal caso si parla di (A,B)-bimodulo.

Se l'anello è unitario, si richiede generalmente che anche l'unità sia compatibile con la struttura di modulo, nel senso che

1v=v per ogni v\in M.

Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di modulo unitario; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.

Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di azione: per un fissato elemento a\in A, l'applicazione \mu_a:M\longrightarrow M tale che \mu_a(v)=av è un omomorfismo di M in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni a\in A la moltiplicazione \mu_a è un omomorfismo di anelli tra A e l'insieme End(M) degli endomorfismi di M. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la teoria delle rappresentazioni, che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, od equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti algebre di gruppo.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Quando l'anello A è un campo, il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno spazio vettoriale.
  • Un gruppo abeliano può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come \mathbb{Z}-modulo, in un modo unico: per ogni generico x del gruppo e per ogni n intero positivo basta definire nx come la somma di n repliche dell'elemento x, definendo naturalmente 0x=0 e (-n)x=-(nx). La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra domini ad ideali principali.
  • Un ideale sinistro di un anello A è naturalmente un A-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un A-modulo destro.
  • Se A è un generico anello e n è un numero naturale, allora il prodotto cartesiano A^n, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su A. In particolare quando n = 1, A stesso è un A-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.
  • Se S è un insieme non vuoto, M è un A-modulo sinistro, e M^S è la famiglia di tutte le funzioni f:S\longrightarrow M, allora M^S può essere reso un A-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine ((f+g)(s)=f(s)+g(s)) e la moltiplicazione attraverso la distributività ((rf)(s)=r(f(s))).

Sottomoduli, omomorfismi e quozienti[modifica | modifica sorgente]

Per i moduli, così come per le altre struttura algebriche come i gruppi e gli anelli, è possibile dare le definizioni di sottostruttura e di omomorfismo. Le definizioni sono date nel caso di A-moduli sinistri; definizioni simmetriche valgono anche nel caso di moduli destri.

Un sottogruppo N di M (come gruppo abeliano) che è stabile per moltiplicazione scalare (ovvero tale che av\in N per ogni v\in N) è detto sottomodulo di M; in altri termini, un sottomodulo di M è un sottoinsieme N che è esso stesso un A-modulo (con le stesse operazioni di M). L'intersezione N_1\cap N_2 e la somma N_1+N_2=\{v+w|v\in N_1,~w\in N_2\} di sottomoduli di M sono ancora sottomoduli; tali operazioni possono essere estese a qualunque insieme (anche infinito) di sottomoduli.

Dato un modulo M e un suo sottomodulo N, il loro quoziente come moduli M/N coincide con il loro quoziente come gruppi abeliani; l'insieme M/N eredita, inoltre, una struttura di A-modulo. In particolare, poiché gli ideali (bilateri) I di A sono A-moduli, anche i quozienti (come anello) A/I sono A-moduli.

Un omomorfismo di moduli è un omomorfismo di gruppi abeliani f:M_1\longrightarrow M_2 che rispetta anche la struttura di modulo, nel senso che a\cdot f(v)=f(av) per ogni a\in A, v\in M. L'insieme degli elementi di M_1 la cui immagine è 0 forma un sottomodulo, detto nucleo dell'omomorfismo; i teoremi di isomorfismo validi per i gruppi si trasferiscono immediatamente al caso dei moduli.

L'insieme degli omomorfismi tra due A-moduli M ed N è esso stesso un A-modulo, indicato con Hom(M,N) (oppure Hom_A(M,N) se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come

  • (f+g)(v)=f(v)+g(v) e
  • (af)(v)=a(f(v)).

Per ogni A-modulo M si ha un isomorfismo canonico M\simeq Hom(A,M).

Un omomorfismo di A-moduli \phi:M_1\longrightarrow M_2 induce, per ogni A-modulo, gli omomorfismi

\phi^*:Hom(M_2,N)\longrightarrow Hom(M_1,N), in cui \phi^*(f)=f\circ \phi e
\phi_*:Hom(N,M_1)\longrightarrow Hom(N,M_2), in cui \phi_*(g)=\phi\circ g.

Nei termini della teoria delle categorie, questo esprime il fatto che, ad N fissato, l'applicazione M\mapsto Hom(M,N) è un funtore controvariante dalla categoria degli A-moduli a quella dei gruppi abeliani, mentre l'applicazione M\mapsto Hom(N,M) è un funtore covariante.

Generatori, indipendenza lineare e basi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Modulo libero.

Una delle maggiori differenze tra la teoria degli spazi vettoriali e quella dei moduli consiste nel fatto che non tutti i moduli hanno una base.

È sempre possibile trovare, dato un modulo M, un insieme di elementi che lo genera: un esempio è l'intero M. Se M può essere generato da un numero finito di elementi, è detto finitamente generato; ad esempio, l'anello A è un A-modulo finitamente generato, perché l'elemento 1 lo genera. Da questo segue anche che, in generale, un sottomodulo di un modulo finitamente generato non è necessariamente finitamente generato: un esempio sono gli ideali non finitamente generati di un anello A non noetheriano. Un concetto più forte è quello di modulo finitamente presentato, ovvero un modulo che può essere scritto come quoziente A^n/N, dove N è un sottomodulo finitamente generato di A^n.

Tuttavia, non sempre è possibile trovare un insieme di generatori linearmente indipendente, ed anzi esistono moduli non nulli in cui nessun elemento è linearmente indipendente: ad esempio, se A è un anello e I un suo ideale, allora nessun elemento di A/I è linearmente indipendente, in quanto iv=0 per ogni i\in I\subseteq A e per ogni v\in A/I.

Nel caso in cui una base (ovvero un insieme di generatori linearmente indipendente) esista, il modulo è detto libero; quando questo avviene, il modulo è isomorfo alla somma diretta di un numero di copie uguale alla cardinalità della sua base e, se questo è finito e uguale ad n, al modulo A^n. In generale, questo numero n non è unico: possono cioè esserci casi in cui i moduli A^n ed A^m sono isomorfi, sebbene n ed m siano diversi. Questo non può avvenire se A è commutativo oppure se è noetheriano; in tal caso, n viene detto rango del modulo libero.[1][2]

Nel caso degli spazi vettoriali (ovvero quando A è un campo), tutti i moduli hanno una base, ovvero tutti i moduli sono liberi; in virtù dell'esempio precedente, segue anche che se tutti gli A-moduli sono liberi, allora A è un corpo. In questo caso, il rango coincide con la dimensione dello spazio vettoriale.

Decomponibilità[modifica | modifica sorgente]

Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè \{0\} e il modulo stesso) è detto semplice mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto semisemplice. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come somma diretta di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti indecomponibili. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se p è un numero primi, lo \mathbb{Z}-moduli \mathbb{Z}_{p^2} non è semplici, in quanto contiene il sottomodulo p\mathbb{Z}_{p^2}=\{0,p,2p,\ldots,p(p-1)\}, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, \mathbb{Z}_{p^2} è indecomponibile ma non semplice.

Se tutti gli A-moduli sono semisemplici, A stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che A sia semisemplice come A-modulo. Un caso di grande importanza per la teoria delle rappresentazioni è il teorema di Maschke: se G è un gruppo finito e k è un campo algebricamente chiuso, allora l'algebra di gruppo k[G] è semisemplice se e solo se la caratteristica di k non divide l'ordine di G.

È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la lunghezza del modulo è finita (teorema di Krull-Schmidt). Nel caso dei domini ad ideali principali (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se A è un PID e M un A-modulo finitamente generato, allora M\simeq R^k\oplus R/(q_1)\oplus R/(q_2)\oplus\cdots\oplus R/(q_n), dove i q_i sono potenze di elementi primi. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della forma canonica di Jordan per applicazioni lineari su uno spazio vettoriale su un campo algebricamente chiuso.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) V.E. Govorov, Rank of a module in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171. ISBN 1-85233-206-9.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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