Funtore (matematica)

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In matematica, è spesso utile tradurre problemi geometrici o topologici in fatti algebrici o insiemistici, che spesso risultano di più facile risoluzione. Questo passaggio viene fatto normalmente tramite un funtore.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un funtore è una mappa fra categorie che ne conserva le strutture.[1]

Più precisamente, un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

  • ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
  • ad ogni morfismo f: XY un morfismo F(f): F(X)→ F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

  • F(idX) = idF(X) per ogni oggetto X in C.
  • F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f: XY e g: YZ.

Un funtore controvariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f: XY, allora F(f): F(Y)→ F(X). Ogni funtore covariante da C a D induce un funtore controvariante tra le categorie C* (cioe' la categoria duale di C) e D.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Funtore costante
Un funtore "banale" tra due categorie CD qualsiasi è quello che mappa ogni oggetto di C su un oggetto fissato X in D e ogni morfismo di C sul morfismo identità di X.
Spazio vettoriale duale
La mappa che associa ad ogni spazio vettoriale il suo spazio duale e ad ogni applicazione lineare la sua duale è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali (con campo fissato) in sé.
Gruppo fondamentale
uno spazio topologico puntato è una coppia (X, x) dove X è uno spazio topologico e x è un punto di X. Il gruppo fondamentale è un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati a quella dei gruppi, che associa alla coppia (X, x) il gruppo π1(X, x).
Algebra delle funzioni continue
associando ad ogni spazio topologico X l'algebra reale C(X) delle funzioni continue da X in R otteniamo un funtore controvariante dalla categoria degli spazi topologici a quella delle algebre reali.
Spazio tangente e cotangente
La mappa che manda ogni varietà differenziabile nel suo fibrato tangente ed ogni funzione liscia nella sua derivata è un funtore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella dei fibrati vettoriali. Associando il fibrato cotangente otteniamo un funtore controvariante.
Algebre di Lie
Associando ad ogni gruppo di Lie la sua algebra di Lie otteniamo un funtore covariante.
Prodotto tensoriale
Se C è la categoria degli spazi vettoriali su un campo fissato, il prodotto tensoriale determina un funtore C x CC covariante in entrambi i fattori.
Funtore "dimentica"
Il funtore che associa ad ogni gruppo l'insieme soggiacente è un funtore dalla categoria dei gruppi a quella degli insiemi, in cui semplicemente ogni gruppo si "dimentica" di avere una struttura. Funtori analoghi si definiscono ad esempio dagli anelli ai gruppi.
Funtore Hom
Fissiamo un gruppo G. Associamo quindi ad ogni gruppo H il gruppo Hom(G, H) fatto da tutti gli omomorfismi da G in H. Questo è un funtore covariante dalla categoria dei gruppi in sé. Se associamo ad H il gruppo Hom(H, G), otteniamo invece un funtore controvariante.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) S. Mac Lane, p. 30

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]


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