Estensione algebrica

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In algebra astratta, una estensione di campi L/K è detta algebrica se ogni elemento di L è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in K.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un campo. Una estensione è il dato di un altro campo L e di un omomorfismo iniettivo di K in L. Tramite l'omomorfismo, K può essere visto come un sottocampo di L. L'estensione è generalmente indicata con la notazione L/K.

Un elemento a di L è algebrico su K se esiste un polinomio (non nullo) p a coefficienti in K tale che

 p(a) = 0.

Un elemento non algebrico su K è detto trascendente.

Se tutti gli elementi di L sono algebrici su K, l'estensione L/K è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.

Polinomio minimo[modifica | modifica wikitesto]

Tra tutti i polinomi che si annullano in a, ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di a su K. Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione

\varphi:K[X]\to L, g\mapsto g(a).

Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado [K(a):K] dell'estensione K(a)/K, dove K(a) è il sottocampo di L generato da K e da a.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Siano \mathbb{Q}, \mathbb{R} e \mathbb{C} rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.

  • L'estensione \mathbb{R}/\mathbb{Q} è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
  • L'estensione \mathbb{C}/\mathbb{R} è algebrica, perché ogni numero complesso a è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
 p(x) = (x-a)(x-\bar a)
  • Consideriamo il sottocampo \mathbb{Q}(\sqrt{2}) di \mathbb{C} generato da \mathbb{Q} e \sqrt{2}. L'estensione \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} è algebrica, perché \sqrt{2} è radice del polinomio a coefficienti razionali
 p(x) = x^2 - 2
  • Ogni polinomio p a coefficienti in K definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di K "generata" dalle radici di p.

Campi algebricamente chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.

Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di M in N è detta estensione algebrica se per ogni x in N esiste una formula p a parametri in M, tale che p(x) è vera e l'insieme

\{y \in N | p(y)\}

è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di N su M può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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