Equazione

« Tutto ciò che non si condensa in un'equazione non è scienza »

(Albert Einstein, "Come io vedo il mondo")

In matematica, un'equazione (dal latino aequo, rendere uguale) è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.

Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un'equazione è chiamato soluzione o radice. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione o mostrare che non ce ne sono.

Tipi di equazione

Esistono tre tipi di equazione: -L'equazione frazionaria (quando compare l'incognita al denominatore) -L'equazione intera (quando non compare l'incognita al denominatore) -L'equazione letteraria (quando oltre all'incognita compaiono altre lettere chiamate parametri che si indicano principalmente con le prime lettere dell'alfabeto italiano )

Dominio

Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l'insieme dei valori per cui l'uguaglianza è vera . L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione

$x^2 - 2 = 0$

non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come $\pm \sqrt{2}$. Analogamente, l'equazione

$x^2 + 1 = 0$

non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.

Notazioni

Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti, che, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere $a$, $b$, $c$... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto ($x$, $y$, $z$...).

Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione

$ax + 2 = b$

dove a è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come

$x = \frac{b-2}{a}$

Nomenclatura

Un'equazione si dice:

• determinata se ammette un numero finito di soluzioni
• impossibile se non ammette soluzioni
• identità se ha come soluzioni tutto il dominio
• indeterminata se il numero delle soluzioni è infinito ma non coincide con tutto il dominio

Risolubilità

Per il Teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (ovvero formata da un polinomio eguagliato a zero, in una variabile) di grado n ammette sempre n soluzioni in campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado $n$ ammette almeno 1 soluzione e al massimo $n$ soluzioni complesse differenti.

Per il Teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per la risoluzione delle equazioni polinomiali di grado 5 o superiore. Fino alle equazioni di quarto grado è nota una formula risolutiva, dopodiché le equazioni sono risolvibili solamente in alcuni casi particolari.

Il Metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce una soluzione approssimata (non esatta) per alcune equazioni. In mancanza di una soluzione esatta, si può utilizzare questo metodo, se le ipotesi lo consentono.

Classificazione delle equazioni

Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:

• Equazioni algebriche, riconducibili a polinomi
• Equazioni trascendenti, non riconducibili a polinomi
• Equazioni funzionali, in cui le incognite sono funzioni

Equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.

In base al grado del polinomio:

• Equazioni di 1º grado o Equazioni lineari
• Equazioni di 2º grado o Equazioni quadratiche
• Equazioni di 3º grado o Equazioni cubiche
• Equazioni di 4º grado o Equazioni quartiche
• Equazioni di 5º grado e così via

Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:

• Equazioni non irrazionali
• Equazioni irrazionali, contenenti radici con incognite al radicando, si classificano in base all'indice della radice:
  • indice pari
  • indice dispari

Equazioni trascendenti

Le Equazioni trascendenti appartengono alle seguenti categorie:

• Equazioni trigonometriche, contenenti funzioni trigonometriche.
• Equazioni esponenziali, contenenti funzioni esponenziali.
• Equazioni logaritmiche, contenenti logaritmi.

Equazioni funzionali

Le Equazioni funzionali si dividono nelle seguenti categorie:

• Equazioni differenziali, se contengono derivate
• Equazioni integrali, se contengono integrali

In base alle espressioni letterali

In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:

• Equazioni numeriche, contengono solo espressioni numeriche e l'incognita.
• Equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri

Altre categorie

• Equazioni diofantee, in cui si ricercano solo le soluzioni in numeri interi
• Sistema di equazioni, a loro volta divisi in tutte le altre categorie sopra

Voci correlate

• Disequazione
• Identità (matematica)
• Metodo di "doppia falsa posizione"
• Risoluzione di un'equazione

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica