Equazione

	« Tutto ciò che non si condensa in un'equazione non è scienza »
	(Albert Einstein, "Come io vedo il mondo")

In matematica, un'equazione (dal latino aequo, rendere uguale) è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.

Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un'equazione è chiamato soluzione o radice. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione o mostrare che non ce ne sono.

Dominio

Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l'insieme dei valori per cui l'equazione è definita. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione

$x^2 - 2 = 0 \,$

non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come $\pm \sqrt{2}$. Analogamente, l'equazione

$x^2 + 1 = 0 \,$

non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.

Notazioni

Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti, che, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere a, b, c... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (x, y, z...).

Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione

$ax + 2 = b \,$

dove a è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come

$x = \frac{b-2}{a} \,$

Nomenclatura

Un'equazione si dice:

• determinata se ammette un numero finito di soluzioni
• impossibile se non ammette soluzioni
• identità se ha come soluzioni tutto il dominio
• indeterminata se il numero delle soluzioni è infinito ma non coincide con tutto il dominio

Risolubilità

Per il Teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (ovvero formata da un polinomio eguagliato a zero, in una variabile) di grado n ammette sempre n soluzioni in campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado n ammette almeno 1 soluzione e al massimo n soluzioni complesse differenti.

Per il Teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per la risoluzione delle equazioni polinomiali di grado 5 o superiore. Fino alle equazioni di quarto grado è nota una formula risolutiva, dopodiché le equazioni sono risolvibili solamente in alcuni casi particolari.

Il Metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce una soluzione approssimata (non esatta) per alcune equazioni. In mancanza di una soluzione esatta, si può utilizzare questo metodo, se le ipotesi lo consentono.

Alcuni tipi di equazioni studiate in matematica

• Equazioni algebriche, riconducibili a polinomi
  • Equazione lineare
  • Equazione quadratica
  • Equazione cubica
  • Equazione quartica

• Equazioni trascendenti, non riconducibili a polinomi.
  • Equazioni trigonometriche
  • Equazioni logaritmiche
  • Equazioni esponenziali
• Equazioni funzionali, in cui le incognite sono funzioni
  • Equazioni differenziali
  • Equazioni integrali
• Equazioni diofantee, in cui si ricercano solo le soluzioni in numeri interi
• Equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri

• Sistema di equazioni

Voci correlate

• Metodo di "doppia falsa posizione"
• Identità
• Disequazione

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