Algebra omologica

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L'algebra omologica è la branca della matematica che studia i metodi dell'omologia e della coomologia da un punto di vista generale. Questi concetti sono nati nell'ambito della topologia algebrica.

Le teorie di coomologia sono state definite per vari oggetti matematici quali spazi topologici, fasci, gruppi, anelli, algebre di Lie e C*algebre. Anche lo studio della moderna geometria algebrica non può fare a meno della coomologia dei fasci.

Centrale per l'algebra omologica è la nozione di sequenza esatta; questi sono gli oggetti attualmente utilizzati per effettuare i calcoli. Un altro genere di strumento classico dell'algebra omologica è il funtore derivato; gli esempi basilari di questi funtori sono Ext e Tor.

Aspetti fondazionali[modifica | modifica sorgente]

Dopo un primo periodo nel quale l'algebra omologica si è dimostrata utile in un'ampia gamma di applicazioni, vi sono stati vari successivi sforzi di astrazione per poterla collocare in una posizione più astratta su una base uniforme. Si può individuare uno spostamento dalla computabilità alla generalità che, a grandi linee, si sviluppa in tre stadi fondazionali.

Lo strumento computazionale per eccellenza dell'algebra omologica è la sequenza spettrale; questi oggetti sono essenziali negli approcci di Cartan-Eilenberg e "Tohoku": essi sono necessari, in particolare, per calcolare i funtori derivati di una composizione di due funtori dati. Le sequenze spettrali sono meno essenziali nell'approccio delle categorie derivate, ma ancora giocano un ruolo importante ogni qual volta si rende necessario un calcolo concreto.

Va ricordato anche che vi sono stati tentativi di 'teorie non commutative' che possano estendere la prima coomologia come i torsori (importanti nella coomologia di Galois).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

sigla della sezione della MSC dedicata all'algebra omologica.

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