Numero trascendente

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In matematica, un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0 = 0

dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono razionali non tutti nulli.

L'insieme dei numeri trascendenti non è chiuso rispetto all'addizione o al prodotto; infatti se a è trascendente, così sarà -a, ma la loro somma (che è 0) è evidentemente un numero algebrico.

L'insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che l'insieme dei numeri trascendenti è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici. Tale risultato fu dimostrato da Georg Cantor alla fine dell'Ottocento.

Dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. Un'altra proprietà di un numero, e cioè la normalità, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.

L'esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che riuscì a costruire un'intera classe di numeri trascendenti (i numeri di Liouville); in particolare di questi fa parte la costante di Liouville:

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000\ldots

dove l'n-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti. Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato appositamente costruito per questo fu e, da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della trascendenza di π. Nel 1874, Georg Cantor aveva dimostrato l'esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti.

La scoperta dei numeri trascendenti consentì la dimostrazione d'impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti una costruzione con riga e compasso; il più famoso, la quadratura del cerchio, è impossibile perché π è trascendente, mentre tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.

Alcuni numeri trascendenti[modifica | modifica sorgente]

dove \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor è la funzione parte intera. Per esempio se β = 2 allora questo numero è 0,11010001000000010000000000000001000...
  • ζ(n) per n pari, in quanto sono multipli razionali di pi greco.

È stato congetturato che altri numeri come ζ(n) per n dispari o la costante di Eulero-Mascheroni γ siano trascendenti, ma non è stato ancora dimostrato che lo siano.

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