Pi greco

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Pi greco
Simbolo π
Valore 3,14159 26535 89793...
Frazione continua \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
Insieme numeri trascendenti
Categoria:Costanti matematiche
« Esplorare π è come esplorare l'Universo… »
(David Chudnovsky)
« … o piuttosto esplorare il mondo sottomarino, perché noi siamo nella melma, e tutto appare senza forma. Abbiamo bisogno di luce, e il calcolatore è questa luce »
(Gregory Chudnovsky)

La costante matematica π (si scrive pi dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero strettamente positivo per cui sen(x)=0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.

Simbolo di pi greco

π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

Le prime 64 cifre decimali di π sono (sequenza A000796 del OEIS) :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592

Indice

[modifica] Proprietà

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Questo è stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Questo risultato stabilisce a fortiori l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

[modifica] Formule che riguardano π

[modifica] Geometria

Per approfondire, vedi la voce geometria.
C = 2πr
  • L'area di un cerchio di raggio r:
A = πr2
  • L'area di un'ellisse di semiassi a e b:
A = πab
V = \frac{4}{3} {\pi} {r^3}
S = 4πr2
V = πr2h
  • L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r:
S = 2{\pi}r \cdot (r+h)

[modifica] Analisi

Per approfondire, vedi la voce analisi matematica.
2 \frac {2}{\sqrt2} \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}} \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\ldots = \pi
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
dalla quale si ricava che:
\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{9\cdot11} + \frac{1}{13\cdot15} + \frac{1}{17\cdot19} + \cdots = \frac{\pi}{8}
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
risolto da Eulero. Un'altra formula che usa la funzione zeta di Riemann:
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^2}\right)} \cdots = \frac{\pi^2}{6}
Dove il prodotto percorre tutti i numeri primi
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\int_{-\infin}^{+\infin}e^{\frac{-u^2}{2}}du = \sqrt{2\pi}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+{x^2}}\, dx = \pi
\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{sen}(x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2
e^{\pi i} + 1 = 0\;
definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{3^2}{2 + \frac{5^2}{2 + \frac{7^2}{2 + \frac{9^2}{2 + \frac{11^2}{2 + ...}}}}}}
\sqrt{\phi^2+1} = \phi+ \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}
  • Data una semicirconferenza di raggio r centrata nell'origine del piano cartesiano, π'r è definibile come lunghezza in forma cartesiana esplicita su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza:
f\left( x\right) := \sqrt{r^2 - x^2}
\pi = \frac{1}{r}\int_{- r}^{r} \sqrt{\left(\frac{d}{dx} f\left(x\right)\right)^2 + 1} d x
= \frac{1}{r}{\int_{- r}^{r} \sqrt{\frac{x^2}{r^2 - x^2} + 1} d x}
= \frac{1}{r}[{\mathrm{arcsen}\left(r\right) - \mathrm{arcsen}\left(-r\right)]}

[modifica] Teoria dei numeri

Per approfondire, vedi la voce teoria dei numeri.
  • La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di : \frac{6}{\pi^2}
  • Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è : \frac{\pi}{4}.

[modifica] Sistemi dinamici, teoria ergodica

Per approfondire, vedi le voci sistema dinamico (teoria dei sistemi) e teoria ergodica.

[modifica] Probabilità e statistica

Per approfondire, vedi le voci probabilità e statistica.
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}
  • Una formula per π proveniente dalla risoluzione del problema dell'Ago di Buffon:

Ci sia un piano in cui sono tracciate delle linee parallele distanti l'una dall'altra t. Lanciamo un ago di lunghezza l, n volte. Sia h il numero di volte in cui l'ago interseca una linea. Allora, per n molto grandi vale la seguente relazione:

\pi = \frac{2ln}{th}

[modifica] Aerodinamica

Per approfondire, vedi la voce aerodinamica.

[modifica] Fisica

Per approfondire, vedi la voce fisica.
T = 2 \pi \sqrt \frac {l}{g}
\mathcal{F}f(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,\mathrm{d} t
\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}

[modifica] Approssimazioni numeriche di π

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

Uno scriba egizio di nome Ahmes è lo scrittore del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di π, il papiro di Rhind, datato al XVII secolo a.C. e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

Archimede elaborò un metodo con cui è possibile ottenere approssimazioni comunque buone di π e lo usò per dimostrare che esso è compreso tra 223/71 e 22/7 (la media dei due valori è circa 3,1419).

Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 e suggerì 3,14 come buona approssimazione.

Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel V secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π: 355/113 e 22/7.

Il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

2 π = 6,2831853071795865

Il matematico tedesco Ludolph van Ceulen (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimali di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula proposta da John Machin nel 1706.

Nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Insieme con l'espansione delle serie di Taylor per la funzione arctan(x). Questa formula si può verificare facilmente usando le coordinate polari dei numeri complessi, partendo da:

(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244 \, i.

Formule di questo genere sono note come formule di tipo Machin.

Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legendre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976.

L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Il record attuale (dicembre 2002) è di 1.241.100.000.000 di cifre, calcolate nel settembre 2002 su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 miliardi di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
K. Takano (1982).
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
F. C. W. Störmer (1896).

Queste approssimazioni sono così complesse da non essere utili per nessuno scopo pratico, se non per provare nuovi supercomputer.

Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare π come serie infinita:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Questa formula permette di calcolare facilmente la k-esima cifra binaria o esadecimale di π senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il sito web di Bailey ne contiene l'implementazione in vari linguaggi di programmazione.

Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:

  • \frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots
da Newton.
  • \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
da Ramanujan.
  • \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}
da David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.
  • {\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} - 8 \arctan\frac{3}{79}
da Eulero.
  • \frac {\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\displaystyle\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} {\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots} = \pi
nota come Formula simmetrica
  • \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{8}.
\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi}{12}.
da Chebyshev
  • \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}

[modifica] Storia

Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco. Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo p.

Ecco una breve cronologia di π:

[modifica] Nell'antichità

[modifica] Nel Medioevo

[modifica] Misure moderne

[modifica] Misure contemporanee

[modifica] Questioni aperte

La più pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. Non sappiamo molto su questo.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base 2 di π si deduce da una plausibile congettura della teoria del caos. Vedi il sopramenzionato sito web di Bailey per ulteriori informazioni.

[modifica] La natura di π

Mentre, nella geometria euclidea, la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti è uguale a π, nelle geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore (geometria ellittica) o minore (geometria iperbolica) e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, ma influisce su qualsiasi formula in cui appare π. Quindi, in particolare, π non è legato alla forma dell'universo; è una costante matematica, non fisica.

[modifica] La legge dell'Indiana su π

Un divertente aneddoto riguardante π secondo il quale uno stato degli USA avrebbe cercato di fissarne per legge il valore al numero 3, ha in effetti radici storiche.[2][3] Lo stato in questione era l'Indiana, dove nel 1897 il deputato T.I. Record, della contea di Posey, presentò alla Camera dei Deputati un disegno di legge redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin.

Nel testo del disegno di legge[4], Goodwin si presentava come il solutore dei problemi della trisezione dell'angolo, della duplicazione del cubo, e della quadratura del cerchio (problemi l'impossibilità della cui soluzione era già all'epoca ampiamente dimostrata). Il suo disegno di legge riguardava l'introduzione di una "nuova verità matematica" consistente nel suo metodo per la quadratura del cerchio. Il testo in effetti non menziona specificamente π, benché l'effetto pratico sia quello di fissarne il valore. Il disegno di legge è confuso e contiene affermazioni sorprendenti, introdotte da frasi del tipo: "Poiché la regola ora in uso ... non funziona ..., è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche.". Bisogna notare che, anche come quadratura del cerchio, quella di Goodwin era una procedura molto scadente, che dà per le aree coinvolte un errore relativo di 1−π/4, circa il 21% (un cerchio di area pari a 80 avrebbe, usando la regola di Goodwin, un'area di circa 64).

Oltre a fissare scorrettamente il valore di

\sqrt{2}=10/7\approx 1,429

ed a seconda della lettura che ne viene data, la procedura di Goodwin fissa da tre a nove nuovi valori per π discendenti da diverse affermazioni presenti nel testo e in scritti di Goodwin sulla questione. Alcune presenti nel testo sono:

  • la circonferenza di un cerchio sta al diametro come 5/4 a 4, da cui π varrebbe 16/5 o 3,2;
  • l'area di un cerchio è uguale all'area di un quadrato il cui lato è pari ad 1/4 la circonferenza del cerchio, da cui π varrebbe 4;
  • il rapporto tra un arco di 90 gradi alla sua corda è 8/7: questo renderebbe π pari a
\sqrt{2 \times 16/7} \approx 3,23.

Al progetto di legge fu assegnato il numero 246 e venne assegnato all'esame della Commissione per le aree palustri, che si dichiarò incompetente e lo inviò alla Commissione per l'educazione. Questa, con parere favorevole, lo rinviò all'aula, dove fu approvato all'unanimità con un voto di 67 a 0. Uno dei motivi del voto fu che il "professor" Goodwin, pur avendo brevettato il proprio metodo, lo offriva in usufrutto gratuito alle scuole dell'Indiana.

Per il passaggio al Senato, il Bill 246 fu inviato alla Commissione per la Temperanza, che lo approvò in prima lettura. Stando al Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers il disegno di legge fu poi affondato quando un membro della commissione lo mostrò a Clarence Abiathar Waldo, un professore di matematica alla Purdue University che si trovava nell'edificio del Senato per altre faccende, chiedendogli se gli sarebbe piaciuto conoscerne il geniale autore. Waldo rispose che conosceva già abbastanza matti e passò il resto della giornata e parte della notte a parlare con altri Senatori della Commissione. Il Bill 246 non andò mai in seconda lettura.

Come si vede, la proposta non era di porre π a 3: il fatto che la versione più popolare dell'aneddoto riporti questo numero deriva forse dal fatto che nell'antichità esso era spesso utilizzato come valore approssimato, come ad esempio si vede dal seguente passo biblico:

« Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza »
( Cronache, 4:2)

[modifica] Approssimazioni di Pi greco

Sono qui elencate alcune approssimazioni di pi greco.

^{64}\sqrt{\frac{708}{37}} \cdot {3} = 3,141592652
^{1,8}\sqrt{\frac{157}{20}} = 3,141592195
\sqrt{\frac{73}{1250}} \cdot {13} = 3,141591953
^3\sqrt{31} = 3,141380652
^5\sqrt{306} = 3,141552236
^4\sqrt{\frac{2143}{22}} = 3,141592653

[modifica] Cultura legata al Pi greco e curiosità

 Questa sezione contiene «curiosità» da riorganizzare.
Contribuisci a migliorarla integrando se possibile le informazioni nel corpo della voce e rimuovendo quelle inappropriate.
  • C'è un intero campo di studi divertenti, ma seri, che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π. Esempio: "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione". Oppure: " Ave o Roma, o madre gagliarda di latine virtù, che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza". Contando le lettere di ogni parola della frase si individuano le prime 14 (e 19 nel secondo caso) cifre decimali di π: 3,14159265358979. Una forma mnemonica più avanzata è "Che n'ebbe d'utile Archimede, da ustori vetri, sua somma scoperta? Umanitade incerta, infantile, che ad ogni progenie vede negato il divin vero. Ma non combatte già la terrema fragilità."
  • La popstar Kate Bush ha interamente dedicato al numero π il secondo brano (intitolato per l'appunto π) del suo ottavo album Aerial, del 2005, nel quale reciterebbe le sue prime 140 cifre. Ma anche altri musicisti ed artisti in genere hanno dedicato alcune loro opere alla costante.
  • Il titolo originale del primo film del regista statunitense Darren Aronofsky, in Italia intitolato π - Il teorema del delirio, è π.
  • Il 14 marzo si celebra il "giorno di pi greco", in quanto nella sua scrittura anglosassone (3/14) esso ricorda l'approssimazione più comune di π.
  • Tracciando una linea che divide a metà il numero 113355\, si otterrà un rapporto molto vicino al valore di \frac{1}{\pi}, precisamente \frac{113}{355}=\frac{1}{3,1415929}
Si tratta della miglior approssimazione razionale con meno di cinque cifre nel numeratore e nel denominatore.
  • Il naturalista francese Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, scoprì che lasciando cadere un ago su una superficie piana come un pavimento con delle linee parallele distanti quanto la lunghezza dell'ago, la probabilità che quest'ultimo cada toccando una delle linee è esattamente uguale a 2/π, che equivale a circa il 64% (vedi Ago di Buffon).
  • Cento anni dopo il matematico Augustus de Morgan propose ad alcuni dei suoi studenti di verificare i calcoli di Leclerc. Dopo 600 lanci aveva toccato le linee per 382 volte, da cui si ricava un valore di π di 3,14. Se si volesse verificare più accuratamente il risultato (ad esempio trovando anche la terza cifra decimale) occorrerebbe effettuare decine di migliaia di lanci.

[modifica] Note

  1. ^ De Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius.
  2. ^ Vedi anche: questo e questo resoconto.
  3. ^ Indiana Pi Bill
  4. ^ Consultabile sul sito della Purdue University: [1]

[modifica] Bibliografia

Sulla legge dell'Indiana:

  • "Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp. 136-140).
  • David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69-72)

[modifica] Voci correlate

[modifica] Altri progetti

[modifica] Collegamenti esterni

[modifica] Siti sulla storia di π

[modifica] Siti con le cifre di π

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco"
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