Prodotto semidiretto

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In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi (G_1, \cdot), (G_2, \star) ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano G_1 \times G_2; la legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi \psi : (G_2, \star) \rightarrow Aut((G_1, \cdot)).[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dati due gruppi (G_1, \cdot), (G_2, \star) ed un omomorfismo \psi : (G_2, \star) \rightarrow \mathrm{Aut}((G_1, \cdot)), chiamiamo prodotto semidiretto di G_1 e G_2 secondo \psi il prodotto cartesiano G_1 \times G_2 dotato della seguente operazione:

(a, b) * (c, d) = (a \cdot \psi_b (c), b \star d)

dove indichiamo con \psi_b un qualche automorfismo \psi(b) appartenente all'insieme \mathrm{Aut}((G_1, \cdot)).

Il prodotto semidiretto di G_1 e G_2 secondo \psi può essere indicato come

(G_1, \cdot) \rtimes_\psi (G_2, \star) .

Prodotto diretto e semidiretto[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto diretto (G_1, \cdot) \times (G_2, \star) è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra (G_2, \star) e Aut((G_1, \cdot)) l'omomorfismo:

\psi(b)={Id}_1 \quad \forall b \in G_2

dove {Id}_1 è l'automorfismo identità in (G_1, \cdot). Infatti l'operazione su (G_1, \cdot) \rtimes_\psi (G_2, \star) sarà a questo punto:

(a, b) * (c, d) = (a \cdot \psi_{b} (c), b \star d)= (a \cdot Id(c), b \star d)= (a \cdot c, b \star d) \

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto[modifica | modifica sorgente]

Sia (G, *) un gruppo e siano H, K due suoi sottogruppi.

Se:

allora G \cong H \rtimes_\psi K, dove \psi_k(h) = khk^{-1} (ovvero ogni elemento viene mappato da \psi nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra G e  H \rtimes_\psi K sarà quello che manda in (h,k) il generico elemento h*k.

Esempi di gruppi semidiretti[modifica | modifica sorgente]

  • Dato un gruppo avente ordine pq, con p,q numeri primi distinti, p < q, esso, per il teorema enunciato e per i Teoremi di Sylow[2], sarà decomponibile come:
    \mathbb{Z}_q \rtimes_\psi \mathbb{Z}_p
    In particolare, se p non divide | \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_q)| = \varphi(q)= q-1 (\varphi è la Funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra \mathbb{Z}_p e Aut(\mathbb{Z}_q) è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
    G \cong \mathbb{Z}_q \rtimes_\psi \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_p
  • Ogni gruppo diedrale D_n è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
     \mathbb{Z}_n  \rtimes_\psi \mathbb{Z}_2
    dove \psi(0) è l'identità su \mathbb{Z}_n e  \psi(1) è l'applicazione che manda ogni elemento n di \mathbb{Z}_n nel suo opposto -n. [3] In particolare un isomorfismo \phi:D_n \rightarrow \mathbb{Z}_n  \rtimes_\psi \mathbb{Z}_2 è quello tale che:
    • \phi(r) = (1,0) \
    • \phi(s) = (0,1) \
    e quindi[4] \phi(r^hs^k)=(h, k) dove r, s sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo ed una simmetria fissata.
  • Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorenz
  • Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
     \langle a,\;b \mid aba^{-1}=b^{-1}\;\rangle \
    ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, \mathbb{Z}, con se stesso.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che D_n è non abeliano per ogni n \geq 3).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Dato un gruppo G, si indica con Aut(G) il gruppo degli automorfismi di G (isomorfismi di G in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
  2. ^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine p esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
  3. ^ Visto nel gruppo diedrale, \psi_s(r)=srs^{-1}=r^{-1}
  4. ^ Essendo r,s generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.
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