Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_1, \cdot), (G_2, \star)$ ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_1 \times G_2$; la legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi : (G_2, \star) \rightarrow Aut((G_1, \cdot))$.

Definizione

Dati due gruppi $(G_1, \cdot), (G_2, \star)$ ed un omomorfismo $\psi : (G_2, \star) \rightarrow \mathrm{Aut}((G_1, \cdot))$, chiamiamo prodotto semidiretto di $G_1$ e $G_2$ secondo $\psi$ il prodotto cartesiano $G_1 \times G_2$ dotato della seguente operazione:

$(a, b) * (c, d) = (a \cdot \psi_b (c), b \star d)$

dove indichiamo con $\psi_b$ un qualche automorfismo $\psi(b)$ appartenente all'insieme $\mathrm{Aut}((G_1, \cdot))$.

Il prodotto semidiretto di $G_1$ e $G_2$ secondo $\psi$ può essere indicato come

$(G_1, \cdot) \rtimes_\psi (G_2, \star)$.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto $(G_1, \cdot) \times (G_2, \star)$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra $(G_2, \star)$ e $Aut((G_1, \cdot))$ l'omomorfismo:

$\psi(b)={Id}_1 \quad \forall b \in G_2$

dove ${Id}_1$ è l'automorfismo identità in $(G_1, \cdot)$. Infatti l'operazione su $(G_1, \cdot) \rtimes_\psi (G_2, \star)$ sarà a questo punto:

$(a, b) * (c, d) = (a \cdot \psi_{b} (c), b \star d)= (a \cdot Id(c), b \star d)= (a \cdot c, b \star d) \$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto

Sia $(G, *)$ un gruppo e siano $H, K$ due suoi sottogruppi.

Se:

• $H \triangleleft G$ ($H$ è normale in $G$)
• $G = HK = \{h*k \mid h \in H, k \in K\}$
• $H \cap K = \{e\}$

allora $G \cong H \rtimes_\psi K$, dove $\psi_k(h) = khk^{-1}$ (ovvero ogni elemento viene mappato da $\psi$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra $G$ e $H \rtimes_\psi K$ sarà quello che manda in $(h,k)$ il generico elemento $h*k$.

Esempi di gruppi semidiretti

• Dato un gruppo avente ordine $pq$, con $p,q$ numeri primi distinti, $p < q$, esso, per il teorema enunciato e per i Teoremi di Sylow, sarà decomponibile come:

  $\mathbb{Z}_q \rtimes_\psi \mathbb{Z}_p$

  In particolare, se $p$ non divide $| \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_q)| = \varphi(q)= q-1$ ($\varphi$ è la Funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra $\mathbb{Z}_p$ e $Aut(\mathbb{Z}_q)$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso

  $G \cong \mathbb{Z}_q \rtimes_\psi \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_p$

• Ogni gruppo diedrale $D_n$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:

  $\mathbb{Z}_n \rtimes_\psi \mathbb{Z}_2$

  dove $\psi(0)$ è l'identità su $\mathbb{Z}_n$ e $\psi(1)$ è l'applicazione che manda ogni elemento $n$ di $\mathbb{Z}_n$ nel suo opposto $-n$. In particolare un isomorfismo $\phi:D_n \rightarrow \mathbb{Z}_n \rtimes_\psi \mathbb{Z}_2$ è quello tale che:
  • $\phi(r) = (1,0) \$
  • $\phi(s) = (0,1) \$
  e quindi $\phi(r^hs^k)=(h, k)$ dove $r, s$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo ed una simmetria fissata.
• Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorenz
• Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
  $\langle a,\;b \mid aba^{-1}=b^{-1}\;\rangle \$
  ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, $\mathbb{Z}$, con se stesso.

Proprietà

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che $D_n$ è non abeliano per ogni $n \geq 3$).

Note

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