Numero duale

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In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi, e trovano applicazione in fisica come un semplice esempio di superspazio, spazio delle configurazioni utilizzato in relatività generale e nelle teorie supersimmetriche. I numeri duali furono introdotti nel XIX secolo da William Clifford.

Algebra dei numeri duali[modifica | modifica wikitesto]

Indicato con \varepsilon l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:

z = a + b \varepsilon,

dove a e b sono numeri reali, e vale la relazione

\varepsilon^2 = 0.

L'elemento \varepsilon ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.

In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando \varepsilon come una variabile e avendo cura di sostituire \varepsilon^n con 0 quando n \geq 2. È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali z_1 = a_1 + b_1 \varepsilon e z_2 = a_2 + b_2 \varepsilon:


\begin{matrix}
z_1 + z_2 & = & \left( a_1 + a_2 \right) + \left( b_1 + b_2 \right) \varepsilon \\
z_1 z_2   & = & \left( a_1 a_2 \right) + \left( a_1 b_2 + a_2 b_1 \right) \varepsilon. 
\end{matrix}

Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.

Divisione[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:


\frac{a + b \varepsilon} {c + d \varepsilon} = 
\frac{(a + b \varepsilon)(c - d \varepsilon)} {(c + d \varepsilon)(c - d \varepsilon)} =
\frac{ac - ad \varepsilon + cb \varepsilon - bd \varepsilon^2} {(c^2 + cd \varepsilon - cd \varepsilon - d^2 \varepsilon^2)} = 
\frac{ac - ad \varepsilon + cb \varepsilon - 0} {c^2 + 0} = 
\frac{ac + \varepsilon (cb - ad)} {c^2} = 
\frac{a} {c} + \frac{cb - ad}{c^2} \varepsilon.

La divisione è definita per c \neq 0, per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali 2 \times 2 della forma:


\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & a
\end{pmatrix},

che rappresenta il numero a + b \varepsilon.

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice


\varepsilon = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}.

Rappresentazione polare[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

|z|^2 = z z^* = (a + \varepsilon b) (a - \varepsilon b) = a^2 - \varepsilon ^2 b^2 = a^2.

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione a = \pm 1, mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

\exp(b \varepsilon) = 1 + \varepsilon b.

Dato allora il numero z = a + \varepsilon b, se a \neq 0 è possibile scomporlo come:

z = a \left( 1 + \frac{b}{a} \varepsilon\right).

I due parametri a e b/a si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo A: i numeri duali su A sono gli elementi dell'anello quoziente R[X]/\left( X^2 \right), dove R[X] è l'anello dei polinomi a coefficienti in R e \left( X^2 \right) è l'ideale generato da X^2.

L'ideale \left( X^2 \right) non è massimale [1], per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento a + b \varepsilon è a^{-1} - ba^{-2} \varepsilon, ed è definito se a è una unità in A.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Calcolo numerico delle derivate[modifica | modifica wikitesto]

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio P(a + b \varepsilon) = \sum_{k=0}^n = p_k (a + b \varepsilon)^k, è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto a; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

P(z) = \sum_{k=0}^n P^{(k)}(a) \frac{(b \varepsilon)^k}{k!} = P(a) + P^\prime(a) b \varepsilon.

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

f(a + b\varepsilon) = f(a) + b f^\prime(a) \varepsilon.

Trasformazioni di Galileo[modifica | modifica wikitesto]

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento O^\prime(x^\prime, t^\prime), che si muove con velocità relativa v rispetto al sistema di riferimento O(x,t), la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale 1 + v \varepsilon:

(t^\prime, x^\prime) = (t,x) \begin{pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix},

ovvero:


\left\{\begin{matrix}
t^\prime & = & t \\
x^\prime & = & vt + x.
\end{matrix}\right.

Superspazi in fisica[modifica | modifica wikitesto]

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, spazio delle configurazioni utilizzato da alcune teorie fisiche, come la supersimmetria; la componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica; quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ \left( X^2 \right) è contenuto nell'ideale \left( X \right)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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