Numero normale

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Un numero è detto normale in una data base b se nel suo sviluppo in tale base tutte le cifre appaiono con la stessa frequenza \frac1b, tutte le coppie di cifre appaiono con frequenza \frac1{b^2} e in generale ogni n-upla appare con frequenza \frac1{b^n}.

Consideriamo un numero reale x. Indichiamo con s una successione finita di cifre in una base che indichiamo con b (b>1). Indichiamo con N(s;n) il numero di apparizioni di s nelle prime n cifre di x. x è normale nella base b se \lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}} per ogni successione s di lunghezza k.

Per la legge forte dei grandi numeri quasi tutti i numeri reali sono normali in ogni base: cioè l'insieme dei numeri non normali in una data base ha misura di Lebesgue nulla. Tuttavia non ci si imbatte facilmente in numeri normali. Si vede subito che i numeri razionali non possono essere normali in alcuna base e non si sa se numeri come \sqrt{2}, e o π lo siano.

Si dimostra facilmente che l'insieme dei numeri non normali non è numerabile. Basta infatti osservare che i numeri nella cui rappresentazione in base b (supposta maggiore di 2) manca una data cifra sono evidentemente non normali e costituiscono un insieme non numerabile (tali rappresentazioni coincidono infatti con quelle di tutti i numeri reali in base b-1).

Due esempi di numeri normali in base 10 sono:

Nel primo dei due esempi precedenti (ma non nel secondo) la dimostrazione della normalità in base 10 è molto semplice.

Il concetto di numero normale fu introdotto da Émile Borel nel 1909. Il primo esempio di numero normale fu trovato da Wacław Sierpiński nel 1917.