Teorema di Wilson

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In Teoria dei numeri, il teorema di Wilson afferma che, dato n > 1 naturale, esso è un numero primo se e solo se

(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)

(vedi fattoriale e aritmetica modulare per la notazione). Vale anche il seguente teorema inverso: l'intero n ≥ 2 è primo se e solo se n divide (n−1)!+1. Il teorema fornisce quindi una condizione necessaria e sufficiente per stabilire se un numero n ≥ 2 è primo.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Questo teorema fu scoperto per la prima volta da Ibn al-Haytham (conosciuto anche come Alhazen) intorno all'anno mille[1], ma ha preso il nome da John Wilson (allora studente del matematico inglese Edward Waring), che lo riscoprì più di 700 anni dopo. Waring annunciò il teorema nel 1770, nonostante né lui né Wilson possedessero una dimostrazione. Lagrange diede la prima dimostrazione nel 1773[2]. Vi sono alcune ragioni per credere che Leibniz conoscesse questo risultato già un secolo prima, ma non lo pubblicò mai.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applichiamo il teorema di Wilson ai numeri 5 e 6:

  • Per il numero 5 si ha: (4! + 1) = (24 + 1) = 25, che infatti è un multiplo di 5.
  • Per il numero 6 si ha: (5! + 1) = (120 + 1) = 121, che non è un multiplo di 6.

La tabella seguente mostra i valori di n da 2 a 30, (n-1)! e il resto di (n-1)! nella divisione per n. Indichiamo il resto di m/n come m mod n. Se n è un numero primo, allora il colore di sfondo è rosa. E se n è un numero composto, quindi il colore di sfondo è verde pallido.

Tabella di resto modulo n
n (n-1)! (n-1)!\ \bmod\ n
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prima dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Questa dimostrazione sfrutta il fatto che se p è un primo dispari, allora l'insieme G = (Z/pZ)× = {1, 2, ... p − 1} forma un gruppo nell'operazione di moltiplicazione modulo p. Ciò significa che per ogni elemento i in G, esiste un unico inverso j in G tale che ij ≡ 1 (mod p). Se i ≡ j (mod p), allora i2 ≡ 1 (mod p), che implica i2 − 1 = (i + 1)(i − 1) ≡ 0 (mod p), e poiché p è primo, questo implica che i ≡ 1 or −1 (mod p), cioè i = 1 o i = p − 1.

In altri termini, 1 e p − 1 sono gli unici termini che coincidono con i loro inversi, mentre ogni altro elemento di G ha un inverso diverso da sé stesso, perciò se raccogliamo gli elementi di G a coppie in questa maniera e li moltiplichiamo, il prodotto risultante sarà −1.

Per esempio, se p = 11, abbiamo

10! = 1(10)(2 \cdot 6)(3 \cdot 4)(5 \cdot 9)(7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11)

Se p = 2, è banale la verifica del risultato.

Per quanto riguarda il teorema inverso (vedi sotto per maggiori dettagli), supponiamo che la congruenza valga per un composto n. Allora n ha un divisore proprio d tale che 1 < d < n. Ovviamente d divide (n − 1)! e, per ipotesi, d divide anche (n − 1)! + 1. Ma allora d divide anche la loro differenza, cioè d divide (n − 1)! + 1 - (n − 1)! = 1, e ciò è assurdo.

Seconda dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Qui vi è un'altra dimostrazione del teorema.

Supponiamo che p sia un primo dispari. Si consideri il polinomio

g(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-(p-1))

ricordando che se f(x) è un polinomio non nullo di grado d in un campo F, allora f(x) ammette al più d radici su F[3]. Consideriamo ora il polinomio

f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)

Poiché i coefficienti dei termini di grado massimo si annullano, possiamo dedurre che f(x) è un polinomio di grado, al più, p − 2. Riducendo modulo p, deduciamo quindi che f(x) ammette al più p − 2 radici mod p. Ma per il teorema di Fermat, ognuno degli elementi 1, 2, ..., p − 1 è una radice di f(x). Ciò è impossibile, a meno che f(x) sia identicamente zero mod p, e questo può avvenire solo se ogni coefficiente di f(x) è divisibile per p.

Ma dal momento che p è dispari, il termine costante di f(x) è uguale a (p − 1)! + 1, e da ciò segue la tesi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Wilson è inutilizzabile come test di primalità, dal momento che il calcolo esplicito di (n − 1)! mod p, richiedendo n moltiplicazioni, è difficile per n grande.

Usando il teorema di Wilson, abbiamo per ogni primo p:

1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)
1\cdot(p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv\ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv\  -1\ (\mbox{mod}\ p)

dove p = 2m + 1. Questo diventa:

\prod_{j=1}^m\ j^2\ \equiv(-1)^{m+1}\ (\mbox{mod}\ p)

E quindi la primalità è determinata dai residui quadratici modulo p. Possiamo utilizzare questo fatto per dimostrare parte di un noto risultato: −1 è un residuo quadratico mod p se p ≡ 1 (mod 4). Supponiamo infatti p = 4k + 1 per qualche intero k. Allora possiamo prendere m = 2k nella relazione precedente e concludere che

\left( \prod_{j=1}^{2k}\ j \right)^{2} = \prod_{j=1}^{2k}\ j^2\ \equiv (-1)^{2k+1}\ = -1(\mbox{mod}\ p)

Formula esatta per π(x)[modifica | modifica wikitesto]

Dal teorema di Wilson si può ricavare facilmente una formula per il numero di numeri primi minori di x. Infatti vale:

\left(p-1\right)! \equiv -1 \pmod{p}

per ogni numero primo p, e inoltre:

\left(n-2\right)! \equiv 0 Mod n

per ogni numero composto n > 4. Utilizzando questi fatti si dimostra che, per n ≥ 5:

\pi(x)= \sum_{5 \leq n \leq x} n \left\{ \frac{\left(n-2\right)!}{n}\right\} + 2

dove \lbrace x \rbrace indica la parte frazionaria di x. Questa formula sfrutta il fatto che, per n > 4, \left\{ \frac{\left(n-2\right)!}{n}\right\} è uguale a 0 se n è composto, a \frac{1}{n} se n è primo. Essa risulta comunque inutile nelle applicazioni poiché richiede una mole di calcoli di gran lunga più elevata del crivello di Eratostene, e va quindi considerata solo come una curiosità matematica.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Vi è anche una generalizzazione del teorema di Wilson, dovuta a Carl Friedrich Gauss:

\prod_{\begin{matrix} 1 \le a < m \\ (a,m)=1 \end{matrix}} a \ \equiv \ \left \{ \begin{matrix} -1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{se } m=2,4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \ \ 1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{altrimenti} \end{matrix} \right.

dove p è un primo dispari.

Teorema inverso[modifica | modifica wikitesto]

L'inverso del teorema di Wilson afferma che, dato un numero composto n > 5,

n divide (n − 1)!.

Ciò non considera il caso n = 4, per cui 3! è congruo a 2 modulo 4.

Infatti se q è un fattore primo di n, tale che n = qa, i numeri

1, 2, ..., n − 1

includono a − 1 multipli di q. Dunque la massima potenza di q che divide il fattoriale è almeno n/q − 1; e la massima potenza che divide n al più

log n/log q.

La disuguaglianza richiesta

log n/log qn/q − 1

è valida in generale, ad eccezione del caso q = 2 ed n = 4.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  2. ^ Joseph Louis Lagrange, "Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125–137 (1771).
  3. ^ Teorema fondamentale dell'algebra

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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