Funzione additiva

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In teoria dei numeri, una funzione additiva è una funzione aritmetica f(n) dell'intero n tale che per ogni a e b interi coprimi si abbia:

f(ab) = f(a) + f(b) \,

Funzione completamente additiva[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione additiva f(n) è detta completamente additiva se f(ab) = f(a) + f(b) è vera per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.

Ogni funzione completamente additiva è additiva, ma non viceversa.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono funzioni aritmetiche completamente additive:

  • La funzione logaritmo considerata in N.
  • a0(n) - la somma dei primi che dividono n. Abbiamo a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. Alcuni valori: (OEIS A001414).
a0(4) = 4
a0(27) = 9
a0(144) = a0(24 · 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14
a0(2,000) = a0(24 · 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23
a0(2,001) = 55
a0(2,002) = 33
a0(2,003) = 2003
a0(54,032,858,972,279) = 1240658
a0(54,032,858,972,302) = 1780417
a0(20,802,650,704,327,415) = 1240681
...
  • a1(n) - la somma dei primi distinti che dividono n. Abbiamo: a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7. Alcuni ulteriori valori: (OEIS A008472)
a1(4) = 2
a1(27) = 3
a1(144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5
a1(2,000) = a1(24 · 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7
a1(2,001) = 55
a1(2,002) = 33
a1(2,003) = 2003
a1(54,032,858,972,279) = 1238665
a1(54,032,858,972,302) = 1780410
a1(20,802,650,704,327,415) = 1238677
...


  • La funzione Ω(n), definita come il numero totale di fattori primi di n, contando ogni fattore nella sua molteplicità. Ciò implica Ω(1) = 0 poiché 1 non ha fattori primi. Alcuni altri valori: (OEIS A001222)
Ω(4) = 2
Ω(27) = 3
Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
Ω(2,000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
Ω(2,001) = 3
Ω(2,002) = 4
Ω(2,003) = 1
Ω(54,032,858,972,279) = 3
Ω(54,032,858,972,302) = 6
Ω(20,802,650,704,327,415) = 7
...
  • ω(n), definita come il numero totale di fattori primi distinti di n. Questo è un esempio di funzione additiva che non è completamente additiva. Alcuni valori (confronta con Ω(n)) (OEIS A001221):
ω(4) = 1
ω(27) = 1
ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
ω(2,000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
ω(2,001) = 3
ω(2,002) = 4
ω(2,003) = 1
ω(54,032,858,972,279) = 3
ω(54,032,858,972,302) = 5
ω(20,802,650,704,327,415) = 5
...

Funzioni additive e funzioni moltiplicative[modifica | modifica wikitesto]

Da qualunque funzione additiva f(n) \, si può facilmente creare una funzione moltiplicativa g(n) , cioè con la proprietà che per ogni a e b coprimi si abbia:

g(ab) = g(a) \times g(b)

Un esempio è g(n) = 2^{f(n)}

Funzioni additive in altri campi della matematica[modifica | modifica wikitesto]

Al di fuori della teoria dei numeri, si definisce funzione additiva una funzione che preserva l'operazione di addizione:

f(x+y) = f(x) + f(y)

per ogni elemento x e y del dominio. L'equazione funzionale precedente è nota come equazione di Cauchy.

Fonti[modifica | modifica wikitesto]

  1. Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Anello di funzioni aritmetiche), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)
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