Criterio di Cartesio

Il criterio di Cartesio, descritto nel suo libro La Géométrie, è una regola algebrica che determina il numero massimo di radici reali positive e negative di un polinomio a coefficienti reali.

La regola di Cartesio

Sia dato un polinomio a coefficienti reali:

$a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\,\!$

con coefficienti $a_n,\ldots,a_0$ reali e non tutti nulli, avente $n$ radici reali. La regola di Cartesio stabilisce che:

Il massimo numero di radici reali positive (negative) di un polinomio è dato dal numero di variazioni (permanenze) di segno fra coefficienti consecutivi, e trascurando eventuali coefficienti nulli; in generale il numero effettivo può essere diminuito rispetto al massimo soltanto di un numero pari. Inoltre, le radici sono ordinate in modulo decrescente da quella corrispondente alla coppia di coefficienti ai gradi massimo e subito precedente fino a quella corrispondente alla coppia di coefficienti lineare e di grado nullo.

Se il polinomio ha tutte le radici non immaginarie il numero di radici positive (negative) è quello massimo. Il criterio di Routh raffina determinando il numero effettivo delle radici a parte reale positiva e negativa.

Esempio

Il polinomio

$x^3 + x^2 - x - 1$

presenta un solo cambiamento di segno fra coefficienti consecutivi (tra $x^2$ e $x$) e due permanenze (tra $x^3$ e $x^2$ e tra $-x$ e $-1$), dunque esso ha al massimo una radice positiva e due negative. Infatti si scompone facilmente in

$(x + 1)^2(x - 1)$

e quindi ha effettivamente radici $-1$ (con molteplicità due) e $+1$ (con molteplicità 1)

Voci correlate

• Polinomio caratteristico
• Criterio di stabilità di Routh

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica