Azione di gruppo

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In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

 G \times A \longrightarrow A
   (g,a) \mapsto g \cdot a,

dove \cdot è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.[2][3]

Orbite[modifica | modifica wikitesto]

Data la relazione di equivalenza \sim su  A

x,y \in A, \ x \ \sim \ y \ \ {\rm se }\ \exists g \in G \ \ {\rm t.c.} \ \ y=g \cdot x

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di  A . L'orbita contenente l'elemento  x è data da

O(x) = \{ g \cdot x | g \in G \}.

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Numero di orbite[modifica | modifica wikitesto]

Se il gruppo finito G agisce sull'insieme finito X, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

 \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\mbox{fix}(g)|

dove

\mbox{fix}(g) = \{ s \in X: g \cdot s = s \}

è l'insieme degli elementi di X che sono lasciati fissi dall'elemento g di G.

Stabilizzatore[modifica | modifica wikitesto]

Dato un punto x in  A, si definisce stabilizzatore di x il sottogruppo di G formato dagli elementi che fissano x:

H_{x}=\{g \in G \ |\ \ g \cdot x = x\}.

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita O_x di un elemento  x conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore H_x in  G . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di G:

|G| = |O_x| \cdot |H_x|.

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

 M = \{gH_x\}_{x \in X, g \in G}

e l'orbita O(x) è data da:

O(x) \rightarrow M,
g\cdot x \mapsto gH_x.

Azioni sinistre e destre[modifica | modifica wikitesto]

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra A \times G \rightarrow A di G su A, per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.[4]

Definizioni ulteriori[modifica | modifica wikitesto]

Un'azione è fedele se ogni elemento di  G sposta almeno un punto di  A :

\forall g \in G, g\neq e,\, \exists x\in A :\, g \cdot x \neq x.

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

\forall g\in G, g\neq e, \forall x\in A: \, g\cdot x \neq x.

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

 \forall x,y \in A, \,\exists g \in G  :\, y=g \cdot x.

Un'azione è semplicemente transitiva se:

 \forall x,y \in A, \,\exists ! g \in G  :\, y=g \cdot x.

Un punto fisso è un elemento x in  A che è lasciato invariato da tutti gli elementi di G, ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento \{x\}:

 g \cdot x = x ,\, \forall g \in G.

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele, mentre se G agisce liberamente e transitivamente su A, allora l'azione risulta semplicemente transitiva.

Azioni e permutazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se \cdot è un'azione del gruppo G sull'insieme non vuoto X allora per ogni g \in G la funzione \pi_g : X \to X : x \mapsto g \cdot x è una permutazione di X, in effetti l'insieme S := \{\pi_g : g \in G\} costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di X. In particolare S è isomorfo a G se e solo se l'azione è fedele.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

G \times  G \rightarrow G,
(g, x) \mapsto g\cdot x.

Spazio topologico[modifica | modifica wikitesto]

Se  A è uno spazio topologico, lo spazio X delle orbite è dotato della topologia quoziente, e la proiezione

p:A\to X\,\!

è una funzione continua.

Azioni e rivestimenti[modifica | modifica wikitesto]

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa p è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti H e K di A l'intersezione

gH\cap K\,\!

è non vuota solo per un numero finito di elementi g del gruppo G.

Se A è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

  • G agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
  • X è di Hausdorff e ogni x in A ha un intorno aperto U tale che
gU\cap U =\emptyset

per ogni g in G.

  • X è di Hausdorff e la proiezione p:A\to X è un rivestimento.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo {\mathbb Z}_2 \equiv {\mathbb Z}/{2\mathbb Z} = \{0,1\} agisce sulla sfera S^n: si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale \mathbb R\mathbb P^n.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Bosch, S., p. 218
  2. ^ Sernesi, E., p. 81
  3. ^ Kosniowski, C.,  p. 39
  4. ^ Manetti, M., pp. 217-219

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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