Caratteristica (algebra)

In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale $n$ tale che l'elemento

$\begin{matrix} \underbrace{1+1+\dots+1} \\ n \mathrm{~volte}\end{matrix}$

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se 1+1+...+1 è sempre diverso da zero, la caratteristica è 0 per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica 2.

Proprietà

Caratteristica di un elemento

Più generalmente, la caratteristica di un elemento $a$ è il più piccolo $k$ tale che

$\begin{matrix} \underbrace{a+a+\dots+a} \\ k \end{matrix}$

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primo

Nei domini di integrità, la caratteristica è 0 oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo 0=1) che è l'unico dominio con caratteristica 1.

Anello finito

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismi

Se A è un sottoanello di B, ha la stessa caratteristica di B.

Più in generale, se A e B sono anelli e $A \to B$ è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di B divide quella di A.

Endomorfismo di Frobenius

Se la caratteristica di un anello A è un numero primo p, allora

$(x + y)^p = x^p + y^p$

per tutti gli elementi $x, y$ in A. La mappa

$f:x \mapsto x^p$

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se A è un dominio d'integrità.

Esempi

Campi razionali, reali, complessi

I campi Q, R e C dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Anelli finiti

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello Z/_nZ delle classi di resto modulo n, ha caratteristica n.

Numeri p-adici

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica $p^k$ con k tendente a infinito.

Caratteristica di un campo

Come detto sopra, la caratteristica di un campo K è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità 1 è un sottocampo di K che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo Q dei numeri razionali. Se è p, è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica p, ad esempio la chiusura algebrica di Z/_pZ.

Collegamenti esterni

• (EN) Finite fields - Wikibook.

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