Teorema della base di Hilbert

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema della base di Hilbert, dimostrato da David Hilbert per la prima volta nel 1888, sostiene che se A è un anello noetheriano, allora l'anello dei polinomi A[x] è noetheriano.

Procedendo ricorsivamente, si dimostra che anche A[x_1, \dots, x_n] è un anello noetheriano. In particolare, se A è un campo algebricamente chiuso, il risultato è importante in geometria algebrica poiché permette di ricavare che ogni ideale dell'anello è generato da un numero finito di elementi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia I \leq A[x] un ideale; per assurdo, se A[x] non fosse noetheriano si potrebbe costruire una successione di polinomi (p_i)_{i \in \N} tali che per ogni i positivo si abbia:

  • p_i \in I \setminus (p_0, \dots, p_{i-1});
  • \mathrm{deg}(p_i) = \min\{\mathrm{deg}(p) | p \in I \setminus (p_0, \dots, p_{i-1})\}.

Si consideri l'ideale (a_i) \leq A generato dai coefficienti direttori dei polinomi; poiché A è noetheriano, esistono degli elementi tali che (a_i) = (b_1, \dots, b_s). In generale, b_j non è un coefficiente direttore di un p_i, tuttavia ognuno è dato da una combinazione lineare degli a_i, dato che b_j \in (a_i), quindi si può pensare che (a_i) sia generato dai primi r elementi, cioè (a_i) = (a_0, \dots, a_{r-1}).

Ora, si costruisca il polinomio q = \sum_{i = 0}^{r-1} e_i p_i x^{d_r - d_i}, dove \sum_{i=0}^{r-1} e_i a_i = a_r e d_i = \mathrm{deg}(p_i); q è un polinomio di grado d_r e coefficiente direttore a_r, appartenente all'ideale (p_0, \dots, p_{r-1}). Sottraendolo a p_r si ottiene un polinomio in I \setminus (p_0, \dots, p_{r-1}) di grado minore di d_r e ciò contrasta con la scelta della successione.

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica