Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

In teoria dei gruppi, il teorema di Cauchy (che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy) afferma che se $G$ è un gruppo finito di ordine $n$, e $p$ è un numero primo che divide $n$, allora esiste in $G$ un elemento di ordine $p$ (e quindi un sottogruppo con $p$ elementi).

Il teorema può essere direttamente derivato dal Teorema di Sylow.

È una conseguenza immediata di questo teorema il fatto che se tutti gli elementi hanno per ordine una potenza di $p$, allora anche l'ordine $n$ del gruppo è una potenza di $p$: se infatti $n$ fosse diviso da un altro primo $q$ esisterebbe un sottogruppo con $q$ elementi, contro l'ipotesi.

Dimostrazione

Dato che, per ipotesi, $p$ è un primo che divide l'ordine del gruppo, sia

$ord(G) = kp = n \qquad k \in \mathbb{N}$

Consideriamo il seguente insieme di $p$-uple di elementi di $G$:

$P=\{(a_1,a_2,\ldots ,a_p) \mid a_1a_2\ldots a_p = e\}$

Questo contiene esattamente $n^{p-1}$ elementi: i primi $p-1$ possono essere scelti ciascuno in $n$ modi, laddove la scelta del $p$-esimo è obbligata, dato che deve necessariamente essere l'inverso del prodotto dei primi $p-1$.

Diciamo ora che due $p$-uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi, definendo così una relazione di equivalenza. Notiamo che se gli $a_i$ di una $p$-upla sono tutti uguali, allora questa è l'unico elemento della propria classe di equivalenza, mentre se almeno due $a_i$ sono distinti, la classe contiene esattamente $p$ $p$-uple.

Sappiamo che sicuramente esiste una $p$-upla formata da tutti elementi neutri, e supponiamo ora per assurdo che non ne esistano altre aventi elementi tutti uguali. Allora

$\vert P \vert = n^{p-1} = 1 + hp \qquad h \in \mathbb{N}$

che è evidentemente un assurdo (perché $p \mid n$).

Esisterà quindi una $p$-upla $(a,a,\ldots,a) \in P$ e dunque tale che $ord(a)=p$.

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