Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In teoria dei gruppi, il teorema di Cauchy (che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy) afferma che se G è un gruppo finito di ordine n, e p è un numero primo che divide n, allora esiste in G un elemento di ordine p (e quindi un sottogruppo con p elementi).

Il teorema può essere direttamente derivato dal Teorema di Sylow.

È una conseguenza immediata di questo teorema il fatto che se tutti gli elementi hanno per ordine una potenza di p, allora anche l'ordine n del gruppo è una potenza di p: se infatti n fosse diviso da un altro primo q esisterebbe un sottogruppo con q elementi, contro l'ipotesi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato che, per ipotesi, p è un primo che divide l'ordine del gruppo, sia

ord(G) = kp = n \qquad k \in \mathbb{N}

Consideriamo il seguente insieme di p-uple di elementi di G:

P=\{(a_1,a_2,\ldots ,a_p) \mid  a_1a_2\ldots a_p = e\}

Questo contiene esattamente n^{p-1} elementi: i primi p-1 possono essere scelti ciascuno in n modi, laddove la scelta del p-esimo è obbligata, dato che deve necessariamente essere l'inverso del prodotto dei primi p-1.

Diciamo ora che due p-uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi, definendo così una relazione di equivalenza. Notiamo che se gli a_i di una p-upla sono tutti uguali, allora questa è l'unico elemento della propria classe di equivalenza, mentre se almeno due a_i sono distinti, la classe contiene esattamente p p-uple.

Sappiamo che sicuramente esiste una p-upla formata da tutti elementi neutri, e supponiamo ora per assurdo che non ne esistano altre aventi elementi tutti uguali. Allora

 \vert P \vert = n^{p-1} = 1 + hp \qquad h \in \mathbb{N}

che è evidentemente un assurdo (perché  p \mid n).

Esisterà quindi una p-upla (a,a,\ldots,a) \in P e dunque tale che ord(a)=p.


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica