Fattoriale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Niente fonti!
 Questa voce o sezione di matematica non riporta fonti o riferimenti.

In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule,

n! := \prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n

per definizione si chiede poi che 0!=1. La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.

I valori per i primi fattoriali sono riassunti nella tabella seguente.

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11! 12! 13! 14!
1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 39 916 800 479 001 600 6 227 020 800 87 178 291 200

La rapida crescita con n del valore di n! può risultare stupefacente e questo ha condotto Christian Kramp nel 1807 ad adottare la notazione con il punto esclamativo. Il nome fattoriale era stato coniato invece pochi anni prima, nel 1800, da Antoine Arbogast.

Una proprietà del fattoriale consiste nel fatto che dal fattoriale di 6 in poi la somma delle cifre che lo compongono è sempre uguale ad un multiplo di nove mentre per i numeri precedenti a 6 la somma è uguale ad un multiplo di tre.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, come sequenza A000142.

Indice

[modifica] Definizione ricorsiva

La funzione fattoriale può anche essere elegantemente definita in modo ricorsivo:

n! := \left\{ \begin{matrix}1 \quad&&\mbox{se } n=0; \\ n(n-1)! &&\mbox{se } n\ge 1~.\end{matrix} \right.

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

[modifica] Zero fattoriale

Nella definizione come produttoria, la richiesta che 0! sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1. Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire 1!=1 e osservare che

1 = 1! = 1 \cdot (1-1)! = 1 \cdot 0! \,

come si desume dalla definizione ricorsiva.

[modifica] Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n! diverse sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad es., rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato insieme di n oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}~.

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzi tutto va osservato che la n-esima derivata di xn è n!; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f(x) come serie di potenze nella x servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

[modifica] Varianti e generalizzazioni

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione Gamma è invece una generalizzazione continua.

[modifica] Funzione Gamma

Per approfondire, vedi la voce funzione Gamma.

Si deve inoltre tenere presente la funzione Gamma, funzione analitica definibile mediante l'integrale

\Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, dt \quad \mbox{per }\mathrm{Re}(z)>0~.

Per essa si dimostrano facilmente le proprietà

\Gamma(1)=1 \qquad \Gamma(z + 1) = z\, \Gamma(z) \quad \mbox{per }\mathrm{Re}(z)>0~.

Essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt~.

Si dimostra che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

[modifica] Semifattoriale o doppio fattoriale

La notazione n!! denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di n ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{se }n=0\mbox{ o }n=1; \\ n[(n-2)!!]&&\mbox{se }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.

per esempio, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sequenza di semifattoriali (Sequenza A006882 dell'OEIS) per n = 0, 1, 2, ... è la seguente:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ... \,

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

n!=n!!(n-1)!!\,

[modifica] Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di n! può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n; questo è quello che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su 100 cifre decimali riesce a calcolare 69!, ma non il fattoriale successivo, in quanto 70! > 10100. Limite analogo si incontra quando si utilizzano i numeri reali ordinari con un linguaggio procedurale come il C o con uno orientato agli oggetti come il Java. Volendo valutare esattamente fattoriali superiori con questi linguaggi, si devono utilizzare routines che trattano gli interi come sequenze di variabili intere normali. In alternativa si possono utilizzare sistemi computazionali come Maple o Mathematica, che permettono di trattare interi grandi quanto si vuole.[senza fonte]

Quando n è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n'!' e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa la approssimazione di Stirling:

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n~.

Vi sono poi elaborazioni che si servono di fattori dati da fattoriali di numeri grandi come valori intermedi, ma che alla fine portano a numeri non eccessivamente grandi. In questi casi può essere opportuno effettuare i calcoli intermedi servendosi di valori approssimati dei logaritmi dei fattoriali. Ad es. per calcolare un coefficiente binomiale si potrebbe usare la formula

{n\choose m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \exp\left[\log(n!)-\log(m!)-\log((n-m)!)\right].~

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale"
Strumenti personali