Numero algebrico

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In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma:

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ··· + a₁x + a₀ = 0

dove n > 0, ogni a_i è un intero, e a_n è diverso da 0.

In una definizione equivalente si richiede che i coefficienti del polinomio siano numeri razionali. È sufficiente moltiplicare l'identità per un multiplo comune a tutti i denominatori dei coefficienti per ricondursi al caso intero.

Indice 1 Esempi di numeri algebrici 2 Grado di un numero algebrico 3 Cardinalità dell'insieme dei numeri algebrici 4 Numeri trascendenti 5 Il campo dei numeri algebrici 6 Numeri definiti da radicali 7 Interi algebrici 8 Classi speciali di numeri algebrici 9 Generalizzazioni 10 Voci correlate

[modifica] Esempi di numeri algebrici

• Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione è soluzione di bx + a = 0; di conseguenza anche gli interi sono algebrici: tutti i numeri interi -k sono radici dell'equazione x+k=0.
• Alcuni numeri irrazionali come (la radice quadrata di 2) e (la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di x² − 2 = 0 e 8x³ − 3 = 0. In generale sono algebrici i numeri irrazionali definibili tramite radicali e operazioni con numeri interi, anche se non tutte le soluzioni delle equazioni possono essere espresse in questo modo (conseguenza in parte del teorema di Abel-Ruffini). Da notare che gli irrazionali π e e non sono però algebrici: sono cioè trascendenti. In generale, non tutti i reali sono algebrici (come d'altronde non tutti gli algebrici sono reali). Diciamo che i reali algebrici, ovvero l'intersezione tra algebrici e reali, è formata dagli irrazionali algebrici e dai razionali.
• L'unità immaginaria (i) e il suo opposto (-i), soluzioni dell'equazione x² + 1 = 0, e in generale tutti i numeri complessi z=a+ib, con a e b reali algebrici.

[modifica] Grado di un numero algebrico

Se un numero algebrico soddisfa un'equazione come quella data sopra con un polinomio di grado n e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado n.

Per ogni intero n esistono degli algebrici di grado n: infatti, attraverso il criterio di Eisenstein, è possibile costruire polinomi irriducibili a coefficienti razionali di grado n qualunque: esso sarà il polinomio minimo di qualche algebrico, che sarà quindi di grado n.

[modifica] Cardinalità dell'insieme dei numeri algebrici

Quello dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L'insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

[modifica] Numeri trascendenti

Per approfondire, vedi la voce numero trascendente.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente. In conseguenza di quanto già detto per gli algebrici, la cardinalità dei numeri trascendenti è pari a quella del campo di partenza.

[modifica] Il campo dei numeri algebrici

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano formano un campo, indicabile con . Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti a_i siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell'equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

[modifica] Numeri definiti da radicali

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici n-esime (dove n è un intero positivo) sono anche algebrici. L'inverso, tuttavia, non è vero: vi sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Si tratta delle soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Questo è un risultato della teoria di Galois.

[modifica] Interi algebrici

Un numero algebrico che soddisfa un'equazione polinomiale di grado n con a_n = 1 (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono 3√2 + 5 e 6i - 2.

Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.

Se K è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in K.

[modifica] Classi speciali di numeri algebrici

• Intero gaussiano
• Intero di Eisenstein
• Irrazionale quadratico
• Unità fondamentale
• Radice dell'unità
• Numero di Pisot-Vijayaraghavan
• Numero di Salem

[modifica] Generalizzazioni

[modifica] Voci correlate

• Numeri reali
• Estensione algebrica
• Teorema di Lindemann-Weierstrass