Intero di Eisenstein

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

$z = a + b\,\omega$

dove a e b sono numeri interi e

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

$z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2).$

In particolare, ω soddisfa l'equazione

$\omega^2 + \omega + 1 = 0.$

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono

{±1, ±ω o ±ω²}

Esiste solo un intero di Eisenstein con valore assoluto uguale a uno.

Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y = z x

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma $x^2 - xy + y^2$ può essere fattorizzato in $(x + \omega y)(x + \omega^2 y)$ e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x² − xy + y² è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

Dominio Euclideo

L'anello degli interi di Eisentein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

$v(a + \omega b) = a^2 - a b + b^2.$

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

$v(a + i b) = a^2 + b^2$

e poiché

$a + \omega b = \left( a - {1\over 2}b\right) + i {\sqrt{3}\over 2} b$

segue che

$v(a + \omega b) = \left( a - {1\over 2}b\right)^2 + {3\over 4} b^2$

$= a^2 - a b + {1\over 4}b^2 + {3\over 4}b^2 = a^2 - a b + b^2$.

Voci correlate

• Intero gaussiano
• Primo di Eisenstein
• Primo gaussiano
• Anello di Kummer

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eisenstein Integer--from MathWorld

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