Intero di Eisenstein

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Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso
Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

z = a + b\,\omega

dove a e b sono numeri interi e

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Indice

[modifica] Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

z2 − (2ab)z + (a2ab + b2).

In particolare, ω soddisfa l'equazione

ω2 + ω + 1 = 0.

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono

{±1, ±ω o ±ω2}

Esiste solo un intero di Eisenstein con valore assoluto uguale a uno.

[modifica] Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y = z x

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma x2xy + y2 può essere fattorizzato in (x + ωy)(x + ω2y) e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x2xy + y2 è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

[modifica] Dominio Euclideo

L'anello degli interi di Eisentein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

v(a + ωb) = a2ab + b2.

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

v(a + ib) = a2 + b2

e poiché

 a + \omega b = \left( a - {1\over 2}b\right) + i {\sqrt{3}\over 2} b

segue che

 v(a + \omega b) = \left( a - {1\over 2}b\right)^2 + {3\over 4} b^2
 = a^2 - a b + {1\over 4}b^2 + {3\over 4}b^2 = a^2 - a b + b^2.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni


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