Intero di Eisenstein

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Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

$z = a + b\,\omega$

dove a e b sono numeri interi e

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

[modifica] Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

z 2 - (2 a - b) z + (a 2 - a b + b 2).

In particolare, ω soddisfa l'equazione

ω 2 + ω + 1 = 0.

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono

{±1, ±ω o ±ω²}

Esiste solo un intero di Eisenstein con valore assoluto uguale a uno.

[modifica] Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y = z x

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma $x 2 - x y + y 2$ può essere fattorizzato in $(x + ω y)(x + ω 2 y)$ e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x² − xy + y² è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.