Intero di Eisenstein

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Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

z = a + b\,\omega

dove a e b sono numeri interi e

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2).

In particolare, ω soddisfa l'equazione

\omega^2 + \omega + 1 = 0.

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono

{±1, ±ω o ±ω2}

Esiste solo un intero di Eisenstein con valore assoluto uguale a uno.

Numeri primi di Eisenstein[modifica | modifica sorgente]

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y = z x

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma  x^2 - xy + y^2 può essere fattorizzato in  (x + \omega y)(x + \omega^2 y) e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x2xy + y2 è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

Dominio Euclideo[modifica | modifica sorgente]

L'anello degli interi di Eisentein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

 v(a + \omega b) = a^2 - a b + b^2.

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

 v(a + i b) = a^2 + b^2

e poiché

 a + \omega b = \left( a - {1\over 2}b\right) + i {\sqrt{3}\over 2} b

segue che

 v(a + \omega b) = \left( a - {1\over 2}b\right)^2 + {3\over 4} b^2
 = a^2 - a b + {1\over 4}b^2 + {3\over 4}b^2 = a^2 - a b + b^2.

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