Unità immaginaria

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In matematica l'unità immaginaria i (a volte rappresentata dalla lettera j o dalla lettera greca iota) permette di estendere il sistema dei numeri reali R al sistema dei numeri complessi C. La sua esatta definizione dipende dal particolare metodo utilizzato per l'estensione.

La motivazione primaria per questa estensione consiste nel fatto che non tutte le equazioni polinomiali f(x) = 0 hanno una soluzione nell'insieme dei numeri reali. In particolare l'equazione x2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali f(x) = 0 hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che C è la chiusura algebrica di R.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Per definizione, l'unità immaginaria i è una soluzione dell'equazione:

x^{2} + {1} = {0}\;

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando i come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire i2 con -1.

i e −i[modifica | modifica sorgente]

L'equazione x2 + 1 = 0 ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione i dell'equazione, allora −i (≠ i) è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per i, sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con i "positivo".

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come R[X]/(X2 + 1) è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo — esistono esattamente 2 automorfismi di R[X]/(X2 + 1), l'identità e l'automorfismo che manda X in −X. Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo C, ma sono gli unici automorfismi del campo C che tengono fisso qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali 2 × 2, perché entrambe le seguenti matrici


\begin{pmatrix}
  0 &     -1  \\
  1 & \;\; 0  
\end{pmatrix} \mbox{ e }
\begin{pmatrix}
   0 &      1  \\
  -1 & \;\; 0  
\end{pmatrix}

sono soluzioni dell'equazione x2 = −1. In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale SO(2, R) ha esattamente 2 elementi — l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Avvertenza[modifica | modifica sorgente]

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come \sqrt{-1}, ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali x ≥ 0, o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

{-1} = i \cdot i = \sqrt{{-1}} \cdot \sqrt{{-1}} = \sqrt{({-1}) \cdot ({-1})} = \sqrt{1} = 1

La regola

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

è valida solo per valori di a e b reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da ±, in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di i[modifica | modifica sorgente]

Le potenze di i si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo 4):

i^{-3} = i
i^{-2} = {-1}
i^{-1} = {-i}
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = {-1}
i^3 = {-i}
i^4 = {1}
i^5 = i
i^6 = {-1}

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove n è un qualunque intero:

i^{4n} = 1
i^{4n{+1}} = i
i^{4n{+2}} = -1
i^{4n{+3}} = -i

Radici dell'unità immaginaria[modifica | modifica sorgente]

Le due radici quadrate di i sono complesse, ricavabili dall'espressione:  \sqrt{i} = \pm\frac{1 + i}{\sqrt{2}} . Ciò può essere verificato nel modo seguente:


\left( \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}  \right)^2 \ = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \
= (\pm 1)^2 \frac{1}{2} (1 + i)^2 \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \
= \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2}  \
= i \

Per -i la radice quadrata sarà quella di i moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. quindi: \sqrt{-i} =\pm\ i \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\ =\pm\frac{i - 1}{\sqrt{2}}

Come per ogni altro numero complesso, le radici n-esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

i=e^{\frac{\pi}{2} i}=e^{(\frac{\pi}{2} +2\pi k)i} \qquad k=0,1,2, ...

Imponendo che un generico numero complesso z=\rho e^{\theta i} sia radice n-esima di i si deve avere:

(\rho e^{\theta i})^n=e^{(\frac{\pi}{2} +2\pi k)i}\;
\rho e^{\theta i}=e^{(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n})i}\;

da cui:

\rho=1
\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n}

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio 1: tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo 2 radici distinte (ponendo ad esempio k=0,1), per la radice cubica ne avremo 3 (k=0,1,2) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

\sqrt[n]{i}=\cos {(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n})}+i\sin{(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n})}\qquad k=0,1,2,...,n-1

i e la formula di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Prendendo la formula di Eulero e^{ix} = \cos x + i\sin x, e sostituendo \pi/2 al posto di x, si ottiene

e^{i\pi/2} = i \;

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza i, ricordando che i^2 = -1, si ottiene l'identità

i^i = e^{-\pi/2} = 0.2078795763\dots

In effetti è facile trovare che i^i ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

i^i = e^{-\pi/2 - 2\pi N} \;

dove N è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri, i è un numero irrazionale quadratico, come \sqrt2, e applicando il teorema di Gelfond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare e^{-\pi/2}, sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità e^{i\pi/2} = i \;, si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

e^{i\pi} + 1 = 0 \;,

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con j per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con i. Anche il linguaggio di programmazione Python usa j per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono "j"="-i", particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle x è indicata con e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)}).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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