Unità immaginaria

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In matematica l'unità immaginaria i (a volte rappresentata dalla lettera j o dalla lettera greca iota) permette di estendere il sistema dei numeri reali \mathbb{R} al sistema dei numeri complessi \mathbb{C}. La sua esatta definizione dipende dal particolare metodo utilizzato per l'estensione.

La motivazione primaria per questa estensione consiste nel fatto che non tutte le equazioni polinomiali f(x)=0 hanno una soluzione nell'insieme dei numeri reali. In particolare l'equazione x^2+1=0 non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali f(x)=0 hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che \mathbb{C} è la chiusura algebrica di \mathbb{R}.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Per definizione, l'unità immaginaria i è una soluzione dell'equazione:

x^{2} + {1} = {0}\;

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando i come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire i^2 con -1.

i e -i[modifica | modifica sorgente]

L'equazione x^2+1=0 ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione i dell'equazione, allora -i (\neq i) è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per i, sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con i "positivo".

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come \mathbb{R}[X]/(X^2+1) è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo — esistono esattamente due automorfismi di \mathbb{R}[X]/(X^2+1), l'identità e l'automorfismo che manda X in -X. Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo \mathbb{C}, ma sono gli unici automorfismi del campo \mathbb{C} che tengono fisso qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali 2\times 2, perché entrambe le seguenti matrici


\begin{pmatrix}
  0 & -1  \\
  1 & 0  
\end{pmatrix} \mbox{ e }
\begin{pmatrix}
   0 & 1  \\
  -1 & 0  
\end{pmatrix}

sono soluzioni dell'equazione x^2=-1. In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale \mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) ha esattamente due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Avvertenza[modifica | modifica sorgente]

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come \sqrt{-1}, ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali x \ge 0, o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

{-1} = i \cdot i = \sqrt{{-1}} \cdot \sqrt{{-1}} = \sqrt{({-1}) \cdot ({-1})} = \sqrt{1} = 1.

La regola

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b},

è valida solo per valori di a e b reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da \pm, in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di i[modifica | modifica sorgente]

Le potenze di i si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo 4):

i^{-3} = i
i^{-2} = {-1}
i^{-1} = {-i}
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = {-1}
i^3 = {-i}
i^4 = {1}
i^5 = i
i^6 = {-1}

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove n è un qualunque intero:

i^{4n} = 1
i^{4n{+1}} = i
i^{4n{+2}} = -1
i^{4n{+3}} = -i

Radici dell'unità immaginaria[modifica | modifica sorgente]

Le due radici quadrate di i sono complesse, ricavabili dall'espressione:  \sqrt{i} = \pm\frac{1 + i}{\sqrt{2}} . Ciò può essere verificato nel modo seguente:


\left( \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}  \right)^2 \ = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \
= (\pm 1)^2 \frac{1}{2} (1 + i)^2 \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \
= \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2}  \
= i \

Per -i la radice quadrata sarà quella di i moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. Quindi:

 \sqrt{-i} =\pm\ i \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\ =\pm\frac{i - 1}{\sqrt{2}}.

Come per ogni altro numero complesso, le radici n-esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

i=e^{\frac{\pi}{2} i}=e^{(\frac{\pi}{2} +2\pi k)i} \qquad k=0,1,2,\dots

Imponendo che un generico numero complesso z=\rho e^{\theta i} sia radice n-esima di i si deve avere:

(\rho e^{\theta i})^n=e^{(\frac{\pi}{2} +2\pi k)i},
\rho e^{\theta i}=e^{(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n})i},

da cui:

\rho=1
\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n}.

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio 1: tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo due radici distinte (ponendo ad esempio k=0,1), per la radice cubica ne avremo tre (k=0,1,2) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

\sqrt[n]{i}=\cos {\left(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n}\right)}\qquad k=0,1,2,\dots,n-1.

i e la formula di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Prendendo la formula di Eulero e^{ix} = \cos x + i\sin x, e sostituendo \frac{\pi}{2} al posto di x, si ottiene

e^{i\frac{\pi}{2}} = i.

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza i, ricordando che i^2 = -1, si ottiene l'identità

i^i = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0,2078795763\dots

In effetti è facile trovare che i^i ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

i^i = e^{-\frac{\pi}{2} - 2\pi N},

dove N è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri, i è un numero irrazionale quadratico, come \sqrt{2}, e applicando il teorema di Gelfond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare e^{-\frac{\pi}{2}}, sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità e^{i\frac{\pi}{2}} = i, si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

e^{i\pi} + 1 = 0,

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con j per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con i. Anche il linguaggio di programmazione Python usa j per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono j=-i, particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle x è indicata con e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)}).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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