Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Matrici quadrate

Data una matrice quadrata A a valori in un certo campo K, si considera l'insieme

I = \{p\in K[x]\ |\ p(A) = 0\}

di tutti i polinomi che annullano A. Questo insieme risulta essere un ideale nell'anello K[x] di tutti i polinomi con coefficienti in K.

L'anello K[x] è un anello euclideo: è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto. Conseguentemente, è un anello ad ideali principali: ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare,

I = (m(x))\,\!

è generato da un elemento m(x). Tale elemento è unico solo a meno di moltiplicazione per una costante non nulla: è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine xk più grande). Si definisce quindi il polinomio minimo di A tale polinomio m(x).

[modifica] Endomorfismi

Dato un endomorfismo

T:V\to V\,\!

di uno spazio vettoriale V su K di dimensione finita, il polinomio minimo m(x) di T è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale

I =\{p\in K[x]\ |\ p(T) = 0\}

formato da tutti i polinomi che annullano T. L'endomorfismo p(T) è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

[modifica] Proprietà

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi.

[modifica] Polinomio caratteristico

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se p è il polinomio caratteristico di una matrice A allora p(A) = 0. Quindi p è un elemento dell'ideale I, e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico p(x) si decompone in fattori primi come

p = p_1^{i_1}\cdots p_k^{i_k},\,\!

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come

p = p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k},\,\!

dove

1\leqslant l_j\leqslant i_j\ \forall j=1,\ldots,k.

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

[modifica] Triangolabilità

Una matrice è triangolabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo K.

[modifica] Diagonalizzabilità

Una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo, ciascuna con molteplicità uno. In altre parole, si spezza come

m(x) = (\lambda_1-x)\cdots(\lambda_n-x)

dove i λi sono tutti distinti.

[modifica] Esempi

[modifica] Grado uno

Il polinomio minimo di una matrice λI ottenuta moltiplicando uno scalare \lambda\neq 0 per la matrice identità I è pari a

m(x) = x-\lambda.\,\!

D'altra parte, se m è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo λI.

[modifica] Diagonale

Il polinomio minimo della matrice diagonale

J=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

è

m(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\,\!

mentre il polinomio caratteristico è

p(x) = (x-1)^2(x-2)(x-3)\,\!.

[modifica] Blocco di Jordan

Il polinomio minimo di un blocco di Jordan

J=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}

è

m(x) = (x-\lambda)^4.\,\!

[modifica] Applicazioni

[modifica] Diagonalizzabilità

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

[modifica] Proiezioni

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo T tale che

T\circ T = T.\,\!

Una proiezione è sempre diagonalizzabile: infatti prendendo

p(x) = x^2-x = x(x-1)\,\!

vale p(T) = 0. Ne segue che p appartiene all'ideale I, ed è quindi diviso dal polinomio minimo m di T. Poiché p ha due radici 0 e 1 di molteplicità 1, anche m ha radici di molteplicità 1, e quindi T è diagonalizzabile.

[modifica] Involuzioni

Una involuzione è un endomorfismo T tale che

T^2 = \operatorname{id}. \,\!

Analogamente, T è radice del polinomio x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) che ha due radici distinte. Quindi T è diagonalizzabile.

[modifica] Voci correlate

Algebra lineare

Spazio vettoriale: Applicazione lineare · Base · Teorema della dimensione · Formula di Grassmann · Teorema di Rouché-Capelli · Rango · Determinante
Diagonalizzabilità: Autovettore e autovalore · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Forma canonica di Jordan
Prodotto scalare: Forma bilineare · Spazio euclideo · Base ortonormale · Gram-Schmidt · Forma hermitiana · Teorema spettrale

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_minimo"
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