Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Matrici quadrate[modifica | modifica sorgente]

Data una matrice quadrata A a valori in un certo campo K, si considera l'insieme:

 I = \{p\in K[x]\ |\ p(A) = 0\}

di tutti i polinomi che si annullano in A. Questo insieme risulta essere un ideale nell'anello K[x] di tutti i polinomi con coefficienti in K.

L'anello K[x] è un anello euclideo: è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto. Conseguentemente, è un anello ad ideali principali: ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

I = (m(x))

è generato da un elemento m(x). Tale elemento è unico solo a meno di moltiplicazione per una costante non nulla: è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine x^k più grande). Si definisce quindi il polinomio minimo di A tale polinomio m(x).

Endomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Dato un endomorfismo:

T:V\to V

di uno spazio vettoriale V su K di dimensione finita, il polinomio minimo m(x) di T è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

 I =\{p\in K[x]\ |\ p(T) = 0\}

formato da tutti i polinomi che annullano T. L'endomorfismo p(T) è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi.

Polinomio caratteristico[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se p è il polinomio caratteristico di una matrice A allora p(A)=0. Quindi p è un elemento dell'ideale I, e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico p(x) si decompone in fattori primi come:

p = p_1^{i_1}\cdots p_k^{i_k}

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

p = p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}

dove:

1\leqslant l_j\leqslant i_j\ \forall j=1,\ldots,k

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

Triangolarizzabilità[modifica | modifica sorgente]

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo K.

Diagonalizzabilità[modifica | modifica sorgente]

Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo K e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. In particolare ogni matrice è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad essa associato ha tutte radici nel campo K di molteplicità pari a 1.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Grado uno[modifica | modifica sorgente]

Il polinomio minimo di una matrice \lambda I ottenuta moltiplicando uno scalare \lambda\neq 0 per la matrice identità I è pari a:

m(x) = x-\lambda

D'altra parte, se m è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo \lambda I.

Diagonale[modifica | modifica sorgente]

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

J=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

è

m(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

mentre il polinomio caratteristico è:

p(x) = (x-1)^2(x-2)(x-3)

Blocco di Jordan[modifica | modifica sorgente]

Il polinomio minimo di un blocco di Jordan:

J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}

è:

m(x) = (x-\lambda)^4

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Diagonalizzabilità[modifica | modifica sorgente]

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

Proiezioni[modifica | modifica sorgente]

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo T tale che:

T\circ T = T

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

p(x) = x^2-x = x(x-1)

vale p(T) = 0. Ne segue che p appartiene all'ideale I, ed è quindi diviso dal polinomio minimo m di T. Poiché p ha due radici 0 e 1 di molteplicità 1, anche m ha radici di molteplicità 1, e quindi T è diagonalizzabile.

Involuzioni[modifica | modifica sorgente]

Una involuzione è un endomorfismo T tale che:

T^2 = \operatorname{id}

Analogamente, T è radice del polinomio x^2-1=(x+1)(x-1) che ha due radici distinte. Quindi T è diagonalizzabile.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Dummit, D. and Foote, R. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.
  • (EN) Herstein, I. §6.7 in Topics in Algebra, 2nd ed. New York: Wiley, 1975.
  • (EN) Jacobson, N. §3.10 in Basic Algebra I. New York: W. H. Freeman, 1985.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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