Proiezione (geometria)

La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

In geometria esistono varie nozioni di proiezione: sono tutte funzioni fra spazi ispirate alle varie proiezioni cartografiche.

Proiezione ortogonale

La trasformzione P è una proiezione ortogonale sulla retta m.

Nel piano cartesiano o nello spazio

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio $m$ (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione $P$ che sposta ogni punto dello spazio su un punto di $m$ lungo una direzione perpendicolare ad $m$.

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione

$(x,y) \mapsto (x,0)$

e la proiezione sulle ordinate è la funzione

$(x,y) \mapsto (0,y).$

In uno spazio vettoriale

Se $S$ è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo $n$-dimensionale $\R^n$, la proiezione ortogonale su $S$ è definita ponendo:

$B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1},\ldots,\mathbf v_n)$

una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi $k$ vettori sono una base per $S$. Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base $B$, la proiezione su $S$ è la funzione:

$(\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,\mathbf x_{k+1},\ldots,\mathbf x_n) \mapsto (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,0,\ldots,0).$

In modo equivalente, se $\mathbf v$ e $\mathbf w$ sono vettori di $\R^n$ e ${\langle , \rangle}$ il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di $\mathbf v$ lungo $\mathbf w$ il vettore $c \mathbf w$, dove il numero:

$c = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle\over\langle \mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle}$

è detto coefficiente di fourier. I vettori $\mathbf v - c\mathbf w$ e $\mathbf w$ sono allora perpendicolari.

Proiezione non ortogonale

La trasformazione T è la proiezione lungo k sulla retta m. L'immagine di T è m ed il nucleo è k.

In algebra lineare, la definizione di proiezione è estesa anche al caso in cui non ci sia un prodotto scalare, ma una somma diretta

$V = U\oplus W$

di uno spazio vettoriale $V$ in due sottospazi $U$ e $W$. In questo caso, ogni vettore $\mathbf v$ si scrive in un modo solo come

$\mathbf v = \mathbf u + \mathbf w \$

per qualche vettore $\mathbf u$ in $U$ e $\mathbf w$ in $W$. La proiezione su $U$ è definita semplicemente mandando ogni $\mathbf v$ nella sua componente $\mathbf u$.

Non è però ben definita la proiezione di uno spazio vettoriale su un sottospazio $U$, se non è specificato un supplementare $W$.

Ad esempio, $U$ e $V$ possono essere due rette distinte nel piano, come le due rette $m$ e $k$ mostrate in figura.

In geometria descrittiva una proiezione non ortogonale è detta proiezione obliqua.

Operatore e matrice di proiezione

Operatore

Una definizione più generale di proiezione, che generalizza le precedenti, è la seguente: un endomorfismo

$f:V\to V$

di uno spazio vettoriale $V$ è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se

$f\circ f = f.$

Le proiezioni definite sopra sono tutte idempotenti.

Matrice

Analogamente, una matrice quadrata $P$ è una matrice di proiezione se $P^2 = P$ (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio,

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

è una matrice di proiezione.

Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice $n\times n$ rappresenta un endomorfismo di $\R^n$. In particolare, la $P$ appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale $z=0$:

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano $\R^2$ su una retta:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\ \end{bmatrix}.$

La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla $T$ descritta sopra in figura:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Proprietà

Se $P, P_1, P_2$ sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:

• $P^n = P$ per ogni numero naturale $n > 0$,
• Gli autovalori possibili di $P$ sono +1 e 0,
• Se $P_{1}$ e $P_{2}$ "si annullano a vicenda", cioè $P_{1}P_{2}= P_{2}P_{1}= 0$, allora la loro somma $P = P_{1} + P_{2}$ è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2

Voci correlate

• Metodo di Monge
• Prospettività

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