Proiezione (geometria)

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La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

In geometria esistono varie nozioni di proiezione: sono tutte funzioni fra spazi ispirate alle varie proiezioni cartografiche.

Proiezione ortogonale[modifica | modifica sorgente]

La trasformazione P è una proiezione ortogonale sulla retta m.

Nel piano cartesiano o nello spazio[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio  m (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione  P che sposta ogni punto dello spazio su un punto di  m lungo una direzione perpendicolare ad  m .

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione:

 (x,y) \mapsto (x,0)

e la proiezione sulle ordinate è la funzione

 (x,y) \mapsto (0,y)

In uno spazio vettoriale[modifica | modifica sorgente]

Se  S è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo  n -dimensionale  \R^n , la proiezione ortogonale su  S è definita ponendo:

 B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1},\ldots,\mathbf v_n)

una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi  k vettori sono una base per  S . Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base  B , la proiezione su  S è la funzione:

 (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,\mathbf x_{k+1},\ldots,\mathbf x_n) \mapsto (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,0,\ldots,0)

In modo equivalente, se \mathbf v e \mathbf w sono vettori di  \R^n e {\langle , \rangle} il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di \mathbf v lungo \mathbf w il vettore c \mathbf w, dove il numero:

c = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle\over\langle \mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle}

è detto coefficiente di Fourier. I vettori \mathbf v - c\mathbf w e \mathbf w sono allora perpendicolari.[1]

Operatore e matrice di proiezione[modifica | modifica sorgente]

Operatore[modifica | modifica sorgente]

Una definizione più generale di proiezione, che generalizza le precedenti, è la seguente: un endomorfismo  f:V\to V di uno spazio vettoriale  V è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se  f\circ f = f . Le proiezioni definite sopra sono tutte idempotenti.

Matrice[modifica | modifica sorgente]

Analogamente, una matrice quadrata  P è una matrice di proiezione se P^2 = P (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio:

 P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

è una matrice di proiezione.

Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice n\times n rappresenta un endomorfismo di \R^n . In particolare, la P appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale  z=0 :

 P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \\ y \\  0 \end{pmatrix}

Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano  \R^2 su una retta:


\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix},\qquad
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, \qquad
\begin{bmatrix}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\
\end{bmatrix}

La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla  T descritta sopra in figura:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Se  P, P_1, P_2 sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:

  •  P^n = P per ogni numero naturale  n > 0 .
  • Gli autovalori possibili di  P sono +1 e 0.
  • Se P_{1} e P_{2} "si annullano a vicenda", cioè P_{1}P_{2}= P_{2}P_{1}= 0, allora la loro somma P = P_{1} + P_{2} è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 152

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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