Base ortonormale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.

Una base ortogonale è una base di vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.

I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K, nel quale sia definito un prodotto scalare. Una base ortogonale per $V$ è una base composta da vettori $\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n$ a due a due ortogonali, cioè tali che:

$\langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = 0 \quad i \ne j$

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore ha norma uno, cioè tale che:

$\langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = \delta_{ij}$

sove $\delta_{ij}$ indica il simbolo di Kronecker.

Questa nozione si generalizza ad uno spazio di Hilbert $V$ (che può essere reale o complesso, e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori indipendenti, ortogonali e di norma 1, che generano un sottospazio denso in $V$. Una tale base è spesso detta base hilbertiana.

Se B è una base ortogonale di $V$, ogni elemento x di $V$ può essere scritto in maniera unica come:

$\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}{\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2} \mathbf v_i$

ed il numero:

$c = {\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2 }$

è detto coefficiente di fourier di x rispetto al vettore di base v_i.

Se B è una base ortonormale si ha:

$\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle \mathbf v_i$

La norma di x è quindi data da:

$\|\mathbf x\|^2=\sum_{\mathbf v_i \in B}|\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle |^2$

Se B è una base ortonormale di $V$, allora $V$ è isomorfo a ℓ ²(B) nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca Φ : H -> ℓ ²(B) tale che:

$\langle\Phi(\mathbf x),\Phi(\mathbf y)\rangle=\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle$

per ogni coppia di vettori x e y di $V$.

Proprietà

• Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie al teorema di Sylvester.
• Da ogni base ortogonale si può ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loro norma. Ad esempio, da $\{ v_1, v_2 \}$ che già sappiamo ortogonale, abbiamo

$\{\frac{v_1}{\|v_1\|}, \frac{v_2}{\|v_2\|}\}$.

• Ogni spazio euclideo possiede basi ortonormali, grazie all'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
• Una matrice di cambiamento di base fra basi ortonormali è una matrice ortogonale.
• Se B è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert V, ogni elemento v di V si scrive in modo unico come

$v=\sum_{b\in B}\langle v,b\rangle b$

e la norma di v è data dall'identità di Parseval

$\|v\|^2=\sum_{b\in B}|\langle v,b\rangle |^2.$

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da

$\langle x,y \rangle = \sum_{b\in B} \langle x,b \rangle \langle b,y \rangle.$

Queste espressioni hanno senso anche se B è non numerabile: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le serie di Fourier sono un esempio.

• Una base hilbertiana è numerabile se e solo se lo spazio è separabile

Esempi

• L'insieme $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ costituisce una base ortonormale (dunque anche ortogonale) di $R^3$ rispetto al prodotto scalare standard.
• L'insieme $\{f_n : n \in \Z \}$ con $f_n(x) = e^{2\pi inx}$ costituisce una base ortonormale dello spazio complesso $L^2([0,1])$. Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle Serie di Fourier.
• L'insieme $\{e_b : b \in B \}$ con $e_b(c) = 1$ se $b=c$ e $e_b(c) = 0$ altrimenti costituisce una base ortonormale di $l^2(B)$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2

Voci correlate

• Prodotto scalare
• Forma hermitiana
• Spazio di Hilbert
• Identità di Parseval

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