Matrice simmetrica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Detta A^T la matrice trasposta di A, una matrice A è simmetrica quando:

A^T = A

o equivalentemente quando i suoi elementi a_{ij} soddisfano:

a_{ij} = a_{ji} \qquad \forall i \ \forall j

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Una matrice M, definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica S e di una matrice antisimmetrica A. Supponendo infatti di poter scrivere:

 M = S+A

per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:

 M^\top = S-A

quindi le matrici S e A sono univocamente determinate:

S= \frac{(M+M^\top)}{2} \qquad A= \frac{(M-M^\top)}{2}

Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:

\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}

non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi \Z, né sul campo finito F_2.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 0 & 5\\
3 & 5 & 6\end{bmatrix}

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la Matrice di Toeplitz, la Matrice identità, e la matrice nulla.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) F.R. Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959–1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
  • (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica