Matrice simmetrica

In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa. Quindi una matrice A è simmetrica quando:

$A^T = A\,\!$

o equivalentemente quando:

$A_{ij} = A_{ji}, \forall i \forall j$

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (trasposta coniugata di se stessa) sono equivalenti.

Esempi

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Proprietà

Autovalori

Una matrice simmetrica ha autovalori reali.

Teorema spettrale

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Matrici simmetriche e antisimmetriche

Data una matrice A definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o su un anello nel quale 2 è invertibile), è possibile esprimere A come somma di una matrice simmetrica S e di una matrice antisimmetrica T tramite la formule:

A = S + T

e

A^T = S − T

prendendo

$S= \frac{(A+A^T)}{2}$

e

$T= \frac{(A-A^T)}{2}$

Al contrario ad esempio su F₂ o su Z la matrice

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

non è somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.

Esempi

Gli oggetti seguenti sono particolari matrici simmetriche.

• Matrice di Hankel, matrice di Hilbert, matrice di Filbert
• Matrice di Toeplitz
• Matrice identità, matrice nulla
• Matrici hermitiane reali (una generalizzazione alternativa ai numeri complessi delle matrici simmetriche reali)

Voci correlate

• Matrice antisimmetrica
• Matrice hermitiana
• Glossario sulle matrici

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