Teorema di Schur-Horn

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati.

Premessa

Si definisce un preordine su $\mathbb {R} ^{n}$. Siano $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ e $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$, dico che $\mathbf {x} \succeq \mathbf {y}$ se, supponendo che:

$x_{i_{1}}\leq \dots \leq x_{i_{n}}$ e $y_{j_{1}}\leq \dots \leq y_{j_{n}}$

Si ha:

$x_{i_{1}}\geq y_{j_{1}}$

$x_{i_{1}}+x_{i_{2}}\geq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}$

$\dots$

$\sum _{k=1}^{n}x_{i_{k}}\geq \sum _{k=1}^{n}y_{j_{k}}$.

Enunciato

Siano $\mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{n})^{T}$ e $\mathbf {v} =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ tali che $\mathbf {d} \succeq \mathbf {v}$. Allora valgono i seguenti due fatti equivalenti:

• Esiste una matrice reale simmetrica $A$ con diagonale $\mathbf {d}$ e autovalori $\mathbf {v}$;
• Esiste una matrice reale ortogonale $Q$ tale che, detta $\Lambda$ la matrice diagonale di autovalori $\mathbf {v}$, $Q\Lambda Q^{T}$ ha come diagonale $\mathbf {d}$.

Bibliografia

• (EN) Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.
• (EN) Lieb, E. H. "Variational Principle for Many-Fermion Systems." Phys. Rev. Lett. 46, 457-459, 1981.

Voci correlate

• Algoritmo di Chan-Li, una dimostrazione costruttiva del teorema.
• Decomposizione di una matrice
• Teoria delle matrici

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Schur-Horn, su MathWorld, Wolfram Research.