Autovettore e autovalore

In questa trasformazione lineare della Gioconda l'immagine è modificata ma l'asse centrale verticale rimane fisso. Il vettore blu ha cambiato lievemente direzione, mentre quello rosso no. Quindi il vettore rosso è un autovettore della trasformazione e quello blu no. Inoltre, poiché il vettore rosso non è stato né allungato, né compresso, né ribaltato, il suo autovalore è 1. Tutti i vettori sull'asse verticale sono multipli scalari del vettore rosso, e sono tutti autovettori: assieme all'origine formano l'autospazio relativo all'autovalore 1.

In matematica, in particolare in algebra lineare, un autovettore di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è un vettore la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per uno scalare, detto autovalore.

Si definisce autospazio il sottospazio generato da tutti gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore.

Si tratta di un concetto fondamentale utilizzato in molti settori della matematica e della fisica. In meccanica classica gli autovettori delle equazioni che descrivono un sistema fisico corrispondono spesso ai modi di vibrazione di un corpo, e gli autovalori alle loro frequenze. In meccanica quantistica gli operatori corrispondono a variabili osservabili, gli autovettori sono chiamati anche autostati e gli autovalori di un operatore rappresentano quei valori della variabile corrispondente che hanno probabilità non nulla di essere misurati.

Il termine autovettore è stato tradotto dalla parola tedesca Eigenvektor, coniata da Hilbert nel 1904. Eigen significa proprio, caratteristico. Anche nella letteratura italiana troviamo spesso l'autovettore indicato come vettore proprio, vettore caratteristico o vettore latente.

Introduzione informale

Una sfera che ruota intorno ad un suo asse.

Rotazione del piano intorno ad un punto

Il piano cartesiano e lo spazio euclideo sono esempi particolari di spazi vettoriali: ogni punto dello spazio può essere descritto tramite un vettore che collega l'origine al punto. Rotazioni, omotetie e riflessioni sono esempi particolari di trasformazioni lineari dello spazio: ciascuna di queste trasformazioni viene descritta agevolmente dall'effetto che produce sui vettori.

In particolare, un autovettore è un vettore $v \neq 0$ che nella trasformazione viene moltiplicato per un fattore scalare λ. Nel piano o nello spazio cartesiano, questo equivale a dire che il vettore non cambia direzione. Può però cambiare verso se λ < 0, e modulo per un fattore dato dal valore assoluto | λ | :

• se | λ | = 1 il modulo resta inalterato,
• se | λ | > 1 il modulo cresce,
• se | λ | < 1 il modulo decresce.

Il valore λ è l'autovalore di v.

Ad esempio, in una rotazione spaziale il vettore coincidente con l'asse di rotazione resta fisso: in altre parole, è un vettore che non cambia né direzione, né verso, né modulo, ed è quindi un autovettore con autovalore 1. I vettori perpendicolari all'asse, invece, ruotano di un certo angolo e cambiano direzione: ogni rotazione piana (di angolo diverso da 0 e π) non possiede autovettori.

Un'onda stazionaria in una corda fissata agli estremi è una autofunzione della trasformazione data dallo scorrere del tempo.

Autovettori e autovalori sono definiti ed usati in matematica e fisica nell'ambito di spazi più complessi e astratti di quello tridimensionale della fisica classica. Questi spazi possono avere dimensione maggiore di 3 o addirittura infinita (ad esempio, possono essere uno spazio di Hilbert). Ad esempio, le possibili posizioni di una corda vibrante in una chitarra formano uno spazio di questo tipo: una vibrazione della corda è quindi interpretata come trasformazione di questo spazio, e i suoi autovettori (più precisamente, le sue autofunzioni) sono le onde stazionarie.

Definizione

Dal punto di vista formale, autovettori e autovalori sono definiti come segue: sia V uno spazio vettoriale su un campo K, che può essere ad esempio il campo dei numeri reali $\Bbb{R}$ o il campo dei complessi $\Bbb{C}$. Sia T un endomorfismo di V, cioè una trasformazione lineare:

$T:V\to V \$

Se $\mathbf v \$ è un vettore non nullo in V e λ è uno scalare tali che:

$T(\mathbf v) = \lambda \mathbf v \$

allora $\mathbf v$ è un autovettore della trasformazione T, e λ è il suo autovalore.

Poiché T è lineare, se $\mathbf v$ è un autovettore con autovalore λ, allora ogni multiplo non-nullo di $\mathbf v$ è anch'esso un autovettore con lo stesso autovalore λ. Più in generale, gli autovettori aventi lo stesso fissato autovalore λ, insieme al vettore nullo, generano un sottospazio di V chiamato l'autospazio relativo all'autovalore λ, solitamente indicato con V_λ.

Lo spettro di T è l'insieme dei suoi autovalori. Il raggio spettrale di T è l'estremo superiore dei moduli dei suoi autovalori.

Nel caso in cui V sia di dimensione finita, per ogni scelta di basi a T è associata univocamente una matrice, detta matrice di trasformazione. Gli autovettori e autovalori associati ad un'applicazione possono essere associati alla matrice di trasformazione nel medesimo modo. Sia $\mathbf x$ il vettore delle coordinate di $\mathbf v$ rispetto ad una base e sia A la matrice di trasformazione rappresentante T rispetto alla medesima base. Si ha:

$A \mathbf x = \lambda \mathbf x \$

In particolare, gli autovalori di A non dipendono dalla base scelta.

Polinomio caratteristico

Per approfondire, vedi la voce Polinomio caratteristico.

Si definisce polinomio caratteristico p(x) nella variabile x associato ad una matrice quadrata A il determinante:

$p(x) = \det(A - xI) \$

dove I è la matrice identità con lo stesso numero di righe di A. In particolare, le radici del polinomio caratteristico sono tutti gli autovalori di T.

Due matrici che rappresentano un endomorfismo T di uno spazio vettoriale V a dimensione finita sono simili, ed in particolare hanno il medesimo polinomio caratteristico, e dunque gli stessi autovalori. Si tratta di uno strumento di grande importanza, che ha permesso di sviluppare un metodo generale per l'individuazione di autovalori e autovettori di un endomorfismo nel caso in cui lo spazio vettoriale V abbia dimensione finita. Il polinomio permette inoltre di stabilire l'esistenza di autovalori e autovettori per un'applicazione lineare:

• Il polinomio caratteristico di T ha grado n, e quindi ha al più n radici: segue che T ha al più n autovalori distinti.
• Se K è algebricamente chiuso allora il polinomio caratteristico ha sempre almeno una radice: segue che T ha almeno un autovalore, e quindi anche almeno un autovettore. Nel caso reale questo non succede sempre, ad esempio si possono trovare autovalori complessi.
• Se la dimensione n di V è dispari, e K = R è il campo dei numeri reali, il polinomio caratteristico ha grado dispari, e quindi ha sempre almeno una radice reale. Ad esempio, ogni endomorfismo di R³ ha almeno un autovettore.

Diagonalizzabilità

Per approfondire, vedi la voce diagonalizzabilità.

L'endomorfismo T è diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale, e si ha che gli elementi della diagonale sono gli autovalori di T. In particolare, la base che diagonalizza T è composta da suoi autovettori. Inoltre, una proprietà generale di T è che se $\mathbf v_{1},\ldots, \mathbf v_{n}$ sono suoi autovettori con autovalori $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ a due a due distinti, allora questi sono linearmente indipendenti.

Il teorema spettrale

Per approfondire, vedi la voce teorema spettrale.

Nel caso complesso, che ha validità generale, afferma che un endomorfismo è normale se e solo se esiste una base ortonormale dello spazio fatta di suoi autovettori. L'endomorfismo è quindi unitariamente diagonalizzabile se e solo se è normale.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria. In altre parole, per ogni matrice normale H esistono una matrice unitaria U ed una diagonale D per cui:

$D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU$

Come corollario segue che se e solo se l'operatore T è autoaggiunto allora la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se T è unitario allora il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Per il teorema spettrale, in particolare, ogni endomorfismo di Rⁿ dato da una matrice simmetrica è diagonalizzabile, ed ha una base di autovettori ortogonali fra loro. Se il polinomio caratteristico di T non ha tutte le radici in K, allora T non è diagonalizzabile. Ad esempio, una rotazione ha un polinomio caratteristico di secondo grado con delta negativo e quindi non ha soluzioni reali: quindi non è diagonalizzabile.

Spazi di dimensione infinita

Per approfondire, vedi la voce Spettro (matematica).

In uno spazio di dimensione infinita la definizione di autovalore è identica al caso di dimensione finita. Tuttavia, Il polinomio caratteristico non è uno strumento disponibile in questo caso. Per questo ed altri motivi, si definisce come spettro l'insieme di quei valori λ per cui l'inverso dell'operatore (T - λ I) non è limitato; tale insieme è solitamente indicato con σ(T). A differenza del caso finito-dimensionale lo spettro e l'insieme degli autovalori, generalmente detto spettro puntuale, in generale non coincidono. Compito della teoria spettrale è l'estensione delle tecniche valide in dimensione finita nel caso in cui l'operatore T e lo spazio V abbiano delle buone proprietà.

Seguono alcuni esempi classici.

• Un operatore limitato su uno spazio di Banach V ha spettro compatto e non vuoto.
• Un operatore compatto su uno spazio di Banach V ha spettro e spettro puntuale coincidenti a meno dello 0. Gli operatori compatti si comportano in modo molto simile agli operatori con immagine a dimensione finita.
• Un operatore autoaggiunto su uno spazio di Hilbert H ha spettro reale. Tali operatori sono fondamentali nella teoria della meccanica quantistica.

Applicazioni

Operatori in meccanica quantistica

Per approfondire, vedi la voce Postulati della meccanica quantistica.

Le funzioni d'onda associate agli stati di un elettrone in un atomo d'idrogeno sono gli autovettori sia della Hamiltoniana dell'atomo di idrogeno che del momento angolare. Gli autovalori associati sono interpretati come le loro energie (crescenti dall'alto in basso n=1,2,3,...) e momenti angolari (crescenti da sinistra a destra: s, p, d,...). Sono disegnati qui i quadrati dei valori assoluti delle autofunzioni. Aree più luminose corrispondono a densità di probabilità maggiori per la posizione in una misurazione. Il centro di ogni figura è il nucleo dell'atomo, un protone.

Un esempio di operatore definito su uno spazio infinito-dimensionale è dato dall'operatore hamiltoniano indipendente dal tempo in meccanica quantistica:

$H \left | \psi_E \right \rangle = E \left | \psi_E \right \rangle$

dove H è l'operatore che agendo sull'autovettore (o autoket) $\left | \psi_E \right \rangle$ restituisce l'autovettore moltiplicato per l'autovalore E, che è interpretato come l'energia dello stato. Teniamo presente che H è un operatore hermitiano, per cui i suoi autostati formano una base ortonormale dello spazio degli stati e gli autovalori sono tutti reali. Proiettando sulla base della posizione otteniamo la rappresentazione tramite funzione d'onda:

$\left \langle x \right | H \left | \psi_E \right \rangle = \left \langle x \right | E \left | \psi_E \right \rangle$

$H_x \left \langle x | \psi_E \right \rangle= E \left \langle x | \psi_E \right \rangle$

$H_x \Psi_E (x)= E \Psi_E (x) \,\!$

dove stavolta H_x indica l'operatore differenziale che rappresenta l'operatore astratto nella base della posizione mentre la funzione d'onda $\Psi_E (x) \,\!$ è l'autofunzione corrispondente all'autovalore E. Dati i postulati della meccanica quantistica gli stati accessibili ad un sistema sono vettori in uno spazio di Hilbert e quindi è definito un prodotto scalare fra di essi del tipo:

$\left \langle \psi_1 | \psi_2 \right \rangle = \int_{D} \left \langle \psi_1 | x \right \rangle \left \langle x | \psi_2 \right \rangle \mbox{d}x= \int_{D} \Psi_1^{*} ( x ) \Psi_2 ( x ) \mbox{d} x$.

dove la stella * indica il passaggio alla complessa coniugata della funzione d'onda. Questo limita la possibilità di scelta dello spazio di Hilbert allo spazio delle funzioni a quadrato integrabile sul dominio scelto D, che può al limite essere tutto $\mathbb R$.

Teoria dei numeri

Lo studio degli autovalori di una matrice ha importanti applicazioni anche nella teoria dei numeri. In particolare, si congettura che alcune statistiche sugli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, quali ad esempio quelle sulla distanza tra zeri consecutivi, siano le stesse di quelle relative alle matrici hermitiane aleatorie (rispetto alla Misura di Haar) di dimensione N al tendere di N all'infinito. Inoltre, è stato congetturato che anche la distribuzione dei valori della funzione zeta di Riemann sia ben approssimata, in media, dai valori assunti dal polinomio caratteristico di tali matrici. Analoghe considerazioni si possono fare su altre famiglie di funzioni speciali, quali ad esempio le funzioni L di Dirichlet, coinvolgendo anche altre famiglie di matrici aleatorie, come ad esempio le matrici simplettiche o ortogonali. Dacché un gran numero di statistiche sono molto più facili da calcolare all'interno della teoria delle matrici aleatorie che investigando direttamente queste funzioni speciali, questa connessione ha avuto come risultato un fiorire di una serie di nuove congetture in teoria dei numeri.

Autofacce

Le autofacce sono esempi di autovettori.

Nella elaborazione digitale delle immagini, l'immagine di una faccia si associa ad un vettore le cui componenti rappresentano la luminosità dei singoli pixel. Gli autovettori di una particolare matrice, detta matrice di covarianza, sono chiamati autofacce. Essi sono molto utili per esprimere ogni faccia come una combinazione lineare di queste autofacce, e sono quindi anche un ottimo strumento di compressione dei dati per memorizzare ed identificare un alto numero di facce.

Tensore d'inerzia

In meccanica, gli autovettori del tensore di inerzia definiscono gli assi principali di un corpo rigido. Il tensore di inerzia è una quantità chiave, necessaria per determinare la rotazione di un corpo rigido intorno al suo baricentro. Gli autovettori del tensore delle deformazioni definiscono gli assi principali di deformazione.

Esempi nel piano e nello spazio

Fra le trasformazioni del piano cartesiano R² possiamo distinguere i seguenti casi speciali:

• Rotazione antioraria di angolo θ: se θ non è un multiplo intero di π non esiste alcun autovettore: infatti ogni vettore viene ruotato e cambia di direzione. Nei casi particolari relativi a θ = k π, con k intero dispari, ogni vettore viene trasformato nell'opposto, quindi ogni vettore non nullo è autovettore, con autovalore -1. Se invece k è pari, la trasformazione non è altro che l'identità, per cui ogni vettore non nullo è autovettore, con autovalore +1.
• Riflessione rispetto ad una retta r passante per l'origine: i vettori in r restano fermi e sono quindi autovettori con autovalore 1, quelli della retta s perpendicolare a r e passante per l'origine vengono ribaltati, e quindi sono autovettori con autovalore -1. Non esistono altri autovettori.
• Omotetia: ogni vettore viene moltiplicato per uno scalare λ e quindi tutti i vettori non nulli sono autovettori con autovalore λ.
• Proiezione ortogonale su una retta r passante per l'origine: i vettori su r restano fermi e quindi sono autovettori con autovalore 1, i vettori sulla retta s ortogonale a r e passante per l'origine vanno tutti sull'origine e quindi sono autovettori con autovalore 0. Non ci sono altri autovettori.

Gli esempi appena elencati possono essere rappresentati rispettivamente dalle seguenti matrici (per semplicità, la retta r è l'asse orizzontale):

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

• Non tutte le trasformazioni del piano e dello spazio ricadono in uno degli esempi mostrati sopra. In generale, un endomorfismo (cioè una trasformazione) di Rⁿ è rappresentabile tramite una matrice quadrata con n righe. Consideriamo per esempio l'endomorfismo di R³ indotto dalla matrice:

  $A = \begin{bmatrix} \; 0 & 1 & -1 \\ \; 1 & 1 & \; 0 \\ -1 & 0 & \; 1 \end{bmatrix}.$

  Usando la moltiplicazione fra matrice e vettore vediamo che:

  $A \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \; 2 \\ \; 2 \\ -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

  e quindi l'endomorfismo rappresentato da A ha un autovettore con autovalore 2.

Si vuole ora trovare il polinomio caratteristico di A. Poiché la trasformazione è già scritta in forma di matrice, saltiamo al punto 2 e calcoliamo il polinomio caratteristico:

$p(x) = \det( A - xI) = \begin{vmatrix} -x & 1 & -1 \\ 1 & 1-x & 0 \\ -1 & 0 & 1-x \end{vmatrix} = -x^3 + 2x^2 + x - 2 = -(x - 2) (x - 1) (x + 1)$

quindi gli autovalori di A sono 2, 1 e −1.

I tre autovettori ortogonali sono:

$v_1 = \begin{bmatrix}\; 1 \\ \;1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad v_2 = \begin{bmatrix}\; 0\;\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad v_3 = \begin{bmatrix}\; 2 \\ -1 \\ \; 1 \end{bmatrix}.$

Per quanto detto prima, la trasformazione assume una forma molto semplice rispetto a questa base: ogni vettore x in R³ può essere scritto in modo unico come:

$x = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 \$

e quindi abbiamo

• $A x = 2x_1 v_1 + x_2 v_2 - x_3 v_3. \$

• Se il polinomio caratteristico di T ha tutte le radici in K con molteplicità 1, allora T è diagonalizzabile.
• Se il polinomio caratteristico di T ha tutte le radici in K, alcune delle quali con molteplicità maggiore di 1, non è necessariamente diagonalizzabile: ad esempio la matrice seguente, che rappresenta la trasformazione della Gioconda in figura ha come polinomio caratteristico (x-1)² e non è diagonalizzabile (per $a\neq 0$):

  $A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -a & 1 \end{matrix} \right)$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Marius Stoka, Corso di geometria, Cedam, ISBN 88-13-19192-8
• Serge Lang (2002): Algebra, 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95835-X
• Steven Roman (1992): Advanced Linear Algebra, Springer, ISBN 0-387-97837-2
• Paul Richard Halmos (1993): Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-3
• Werner H. Greub (1981): Linear Algebra, Springer, 4th edition, ISBN 0-387-90110-8
• Jim Hefferon (2001): Linear Algebra, Online book, St Michael's College, Colchester, Vermont, USA
• Gene H. Golub, Charles F. van Loan (1996): Matrix computations, 3rd Edition, Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-9
• Nelson Dunford, Jacob Schwartz (1958): Linear Operator. Part I General Theory Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• V. G. Prikazchikov: Eigen values of differential operators, numerical methods accessibile in Encyclopaedia of Mathematics
• A. B. Bakushinskii: Eigen values of integral operators, numerical methods accessibile in Encyclopaedia of Mathematics
• T. S. Pigolkina, V. S. Shul'man: Eigen vector accessibile in Encyclopaedia of Mathematics
• Leonid Vital'evič Kantorovič, G. P. Akilov (1982): "Functional analysis", Pergamon Press

Voci correlate

• Autofunzione
• Autostato
• Diagonalizzabilità
• Forma canonica di Jordan
• Polinomio caratteristico
• Spazio vettoriale
• Teorema spettrale
• Teoremi di Gerschgorin
• Trasformazione lineare

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eigenvector in MathWorld
• (EN) Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: E - vedi eigenvector e termini correlati
• (EN) Numerical solution of eigenvalue problems Edited by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, Henk van der Vorst

Calcolatrici in linea

• Calculator for Eigenvalues nel sito di Arndt Brünner
• Online Matrix Calculator presso BlueBit Software
• Matrix calculator in WIMS, WWW Interactive Multipurpose Server, presso l'Université Nice Sophia Antipolis

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