Raggio spettrale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, il raggio spettrale di una matrice o di un operatore lineare limitato è l'estremo superiore della norma del modulo degli elementi del suo spettro. Spesso è denotato con  \rho(\cdot) .

In analisi numerica il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un metodo iterativo è convergente verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare (come il metodo di Jacobi o quello di Gauss-Seidel) converge alla soluzione del sistema se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è strettamente minore di 1.

Matrici[modifica | modifica wikitesto]

Siano  \lambda_1, \dots \lambda_n autovalori (reali o complessi) di una matrice  A \in \C^{n \times n} . Allora il suo raggio spettrale \rho(A) è definito come:

 \rho(A) \equiv \max_i(|\lambda_i|)

Un limite superiore per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia A \in \mathbb{C}^{n \times n} una matrice complessa, \rho(A) il suo raggio spettrale e \| \cdot \| una norma matriciale consistente. Allora per ogni k \in \N si ha:

\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}

Infatti, sia (\mathbf v, \lambda) una coppia autovettore-autovalore relativi ad A. Per la proprietà sub-moltiplicativa della norma matriciale:

|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|

e dato che \mathbf v \ne 0 per ogni \lambda si ha:

|\lambda|^k\leq \|A^k\|

e dunque:

\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}

come si voleva mostrare.

Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia A \in \mathbb{C}^{n \times n} una matrice complessa e \rho(A) il suo raggio spettrale. Allora \lim_{k \to \infty}A^k=0 se e solo se \rho(A)<1. Inoltre, se \rho(A) > 1 allora \|A^k\| non è limitato per valori di k crescenti.

Per mostrare che \lim_{k \to \infty}A^k = 0 implica  \rho(A) < 1 , sia (\mathbf v, \lambda) una coppia autovettore-autovalore relativi ad A. Dato che:

A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}

si ha:

\begin{align}
  0 &= \left(\lim_{k \to \infty}A^k\right)\mathbf{v} \\
    &= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v} \\
    &= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v} \\
    &= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k
\end{align}

e dato che per ipotesi \mathbf v \ne 0 si verifica:

\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0

che implica | \lambda | < 1. Poiché questo deve essere vero per ogni autovalore, succede che \rho(A)<1.

Per mostrare che \rho(A)<1 implica \lim_{k \to \infty}A^k = 0, dal teorema di Jordan segue che per ogni matrice a valori nel campo complesso A \in \mathbb{C}^{n \times n} esistono una matrice non singolare V \in \mathbb{C}^{n \times n} e una matrice diagonale a blocchi J \in \mathbb{C}^{n \times n} tali che:

A = VJV^{-1}

con:

J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}

dove:

J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i} \qquad 1\leq i\leq s

Si vede facilmente che:

A^k=VJ^kV^{-1}

e dato che J è diagonale a blocchi:

J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}

Un noto risultato riguardante la k-esima potenza di un blocco di Jordan m_i \times m_i stabilisce che per k \geq m_i-1 si ha:

J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}

In questo modo, se \rho(A) < 1 allora |\lambda_i| < 1 per ogni i, sicché:

\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i

e questo implica:

\lim_{k \to \infty}J^k = 0

Quindi:

\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0

D'altra parte, se \rho(A)>1 allora vi è almeno un elemento in J che non rimane limitato per k crescente, concludendo la dimostrazione.

Formula di Gelfand[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Gelfand (1941) stabilisce che per ogni norma matriciale \| \cdot \| si ha:

\rho(A)=\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}

In altri termini, mostra come il raggio spettrale di A fornisca l'entità della crescita asintotica della norma di A^k, cioè:

\|A^k\|\sim\rho(A)^k

per k \to \infty.

Per la dimostrazione, si consideri la matrice:

\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A \qquad \epsilon > 0

Allora:

\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1

e per il teorema precedente:

\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0

Per la definizione di limite di una successione, esiste un numero naturale N_1 \in \N tale per cui:

\|\tilde{A}^k\| < 1 \qquad \forall k\geq N_1

che implica:

\|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k \qquad \forall k\geq N_1

o equivalentemente:

 \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon) \qquad \forall k\geq N_1

Considerando ora la matrice:

\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A

in modo analogo si ha:

\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1

e per il teorema precedente \|\check{A}^k\| non è limitata. Esiste quindi N_2 \in \N tale per cui:

\|\check{A}^k\| > 1 \qquad \forall k\geq N_2

che implica:

\|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k \qquad \forall k\geq N_2

o:

\|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon) \qquad \forall k\geq N_2

Considerando:

N:=\max(N_1,N_2)

allora per ogni \epsilon>0 esiste N \in \N tale che per ogni k\geq N:

\rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon

dunque:

\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)

come si voleva mostrare.

La formula di Gelfand conduce direttamente ad un limite per il raggio spettrale del prodotto di infinite matrici. Nello specifico, assumendo che esse commutano reciprocamente:

\rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n)

Inoltre, nel caso la norma matriciale sia consistente, grazie al lemma enunciato in precedenza si può rimpiazzare, nella definizione del limite, il limite inferiore sinistro con il raggio spettrale stesso. Quindi per ogni \epsilon>0 esiste N\in\N tale per cui:

 \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon \qquad \forall k\geq N

e dunque:

\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+

Operatori lineari limitati[modifica | modifica wikitesto]

Per un operatore lineare limitato A e una norma operatoriale \| \cdot \|, il raggio spettrale \rho(A) di A è dato dalla formula di Gelfand.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la matrice:

A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}

i cui autovalori sono 5, 10, 10. Per definizione, il suo raggio spettrale è \rho(A) = 10. Nella tabella che segue sono riportati i valori di \|A^k\|^{1/k} per le quattro norme più utilizzate, ordinati per k crescente. Si nota che a causa della particolare forma della matrice \|.\|_1=\|.\|_\infty.

k \|.\|_1=\|.\|_\infty \|.\|_F \|.\|_2
1 14 15.362291496 10.681145748
2 12.649110641 12.328294348 10.595665162
3 11.934831919 11.532450664 10.500980846
4 11.501633169 11.151002986 10.418165779
5 11.216043151 10.921242235 10.351918183
\vdots \vdots \vdots \vdots
10 10.604944422 10.455910430 10.183690042
11 10.548677680 10.413702213 10.166990229
12 10.501921835 10.378620930 10.153031596
\vdots \vdots \vdots \vdots
20 10.298254399 10.225504447 10.091577411
30 10.197860892 10.149776921 10.060958900
40 10.148031640 10.112123681 10.045684426
50 10.118251035 10.089598820 10.036530875
\vdots \vdots \vdots \vdots
100 10.058951752 10.044699508 10.018248786
200 10.029432562 10.022324834 10.009120234
300 10.019612095 10.014877690 10.006079232
400 10.014705469 10.011156194 10.004559078
\vdots \vdots \vdots \vdots
1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382
2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649
3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757
\vdots \vdots \vdots \vdots
10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323
20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161
30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774
\vdots \vdots \vdots \vdots
100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1115-1116, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica