Raggio spettrale

In matematica, il raggio spettrale di una matrice o di un operatore lineare limitato è l'estremo superiore della norma del modulo degli elementi del suo spettro, che è a volte denotato con ρ(·).

Raggio spettrale di una matrice

Siano λ₁, …, λ_s gli l'autovalori reali o complessi della matrice A. Allora

$\rho(A) := \max_{1\leq i\leq s}(|\lambda_i|).$

Raggio spettrale per un operatore lineare limitato

Per un operatore lineare limitato A e un operatore norma ||·||, si ha

$\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.$

Utilizzi

In analisi numerica il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un metodo iterativo è convergente verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare (come il metodo di Jacobi o quello di Gauss-Seidel) converge alla soluzione del sistema se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è strettamente minore di 1.

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