Complesso coniugato

In matematica, si definisce complesso coniugato di un numero complesso un numero ottenuto dal primo cambiando il segno della parte immaginaria. Pensando il numero complesso come punto del piano complesso, il suo complesso coniugato è il punto riflesso all'asse reale.

Definizione

Dato

$z=x+iy \$,

dove x e y sono numeri reali ed i è l'unità immaginaria, il complesso coniugato di $z$ si indica con $\bar{z}$ o $z^*$ ed è definito da

$\bar{z} = x-iy \$.

Per un numero complesso dato in forma esponenziale

$z = r e^{i\phi} \$

con $r > 0,\ \phi \in \mathbb{R} \$, il complesso coniugato è

$\bar{z} = r e^{-i\phi} \$.

Proprietà

La coniugazione complessa è un automorfismo del campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$, in altre parole: l'applicazione $z \mapsto \bar{z}$ è una funzione biettiva dei numeri complessi con le seguenti proprietà:

$\overline{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}$ e $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ per ogni $z, w \in \mathbb{C}$.

Si hanno inoltre le seguenti relazioni fra complesso coniugato, inverso, valore assoluto e parte reale ed immaginaria: per ogni $z \in \mathbb{C}$,

$\overline{z^{-1}} = (\bar{z})^{-1}$,

$z\bar{z} = |z|^2$,

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$,

$z + \bar{z} = 2\; \operatorname{Re}(z)$,

$z - \bar{z} = i 2\; \operatorname{Im}(z)$.

Inoltre se un polinomio $p(x)$ a coefficienti reali ha una radice (complessa) $\lambda$ allora anche $\overline{\lambda}$ è una radice di $p(x)$. Infatti per quanto detto in precedenza si ha che

$p(\overline{\lambda}) = \overline{p(\lambda)} = 0$

Voci correlate

• Complesso opposto
• Numero complesso
• Parte immaginaria
• Parte reale

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