Piano complesso

Rappresentazione grafica dei numeri complessi. L'asse Y mostra la parte immaginaria, l'asse X la parte reale del numero.

In matematica, il piano complesso (chiamato anche piano di Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse x e la parte immaginaria rappresentata sull'asse y. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario.

Storia

Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss, per cui viene da alcuni anche definito Piano di Gauss. Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito Piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 da un matematico norvegese-danese Caspar Wessel.

Uso

Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.

I diagrammi di Argand sono frequentemente usati per graficare la posizione dei poli o di zeri di una funzione nel piano complesso.

Uso e notazioni

In analisi complessa, un numero complesso è generalmente indicato con il simbolo z, che può essere separato in parte reale e immaginaria nel modo seguente:

$z = x + iy$

dove x e y sono numeri reali, e i è l'unità immaginaria. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea. In questa notazione, il numero complesso z corrisponde al punto (x, y) del piano cartesiano. L'ascissa è data da $x= Re(z)$ (la parte reale, l'asse delle x) e da $y= Im(z)$ (la parte immaginaria, l'asse delle ordinate).

Nel piano cartesiano, il punto (x, y) può anche essere rappresentato in coordinate polari come:

$(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$

dove il modulo r e la fase $\theta$ sono ricavate (per x>0) dalle formule

$r = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta=\arctan\frac{y}{x}.$

Voci correlate

• Numero complesso
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Sfera di Riemann

Altri progetti

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