Radice (matematica)

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In matematica, una radice (o zero) di una funzione è un elemento nel dominio di tale che . La definizione quindi generalizza la nozione di radicale, che è in questa chiave la radice delle funzioni della forma:

Questa definizione è molto importante in algebra quando è un polinomio.

Il teorema fondamentale dell'algebra garantisce l'esistenza di un numero di radici (contate con molteplicità) uguale al grado del polinomio.

Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione fra due insiemi, tale che contiene un elemento "zero". Ad esempio, può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento è una radice di se

In altre parole, se l'immagine di tramite è zero (vedi la voce nucleo per una trattazione da un punto di vista algebrico).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Denotiamo con l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale data da:

Il numero 3 è radice di , perché . Più in generale, le radici di una funzione sono i punti in cui il grafico di interseca l'asse . Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite.

Molteplicità di una radice[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce la molteplicità di una radice di un polinomio come il numero intero positivo tale che

dove è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini, è il numero massimo di volte per cui possiamo dividere per .

Se il polinomio si fattorizza in polinomi di primo grado come

con non necessariamente distinti, allora la molteplicità di è il numero degli che sono uguali ad . La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si possa fattorizzare in polinomi di primo grado, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio

ha 0 che è una radice con molteplicità 2, infatti

e 0 non è radice di .

Numero di radici[modifica | modifica wikitesto]

Usando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio di grado ha al più radici, nel modo seguente:

  • se otteniamo una equazione di primo grado, che ha sempre una sola soluzione;
  • per : se è una radice di , allora il teorema di Ruffini asserisce che , dove è un altro polinomio di grado . Per l'ipotesi induttiva ha al più radici distinte. D'altra parte, se allora oppure : quindi una radice di è oppure è radice di . Quindi ha al più radici.

Sempre usando il teorema di Ruffini, si vede che ha radici se e solo se possiamo scrivere

dove sono numeri reali distinti (le radici di ).

Radici multiple e valore della derivata[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Ruffini permette di osservare facilmente che se è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata del polinomio si annulla in cioè . Basta osservare che il polinomio si scompone come e che calcolando la derivata, si ottiene un polinomio multiplo di

Equazione p(x) = b[modifica | modifica wikitesto]

Sia un polinomio di grado L'equazione è equivalente a . Poiché è un polinomio di grado , l'equazione ammette sempre radici (contandole con molteplicità). È possibile dimostrare che esistono al massimo valori di per cui l'equazione ammette radici multiple (equivalentemente: esistono al massimo valori di per cui la controimmagine ha cardinalità inferiore a ).

La dimostrazione utilizza quanto detto sopra rispetto al fatto che se è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata si annulla.

Radici di polinomi reali[modifica | modifica wikitesto]

Determinazione completa[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio in una variabile a coefficienti reali è interpretabile come una particolare funzione . Lo studio delle radici di un dato è stato sempre un problema centrale nello sviluppo della matematica, che equivale a risolvere l'equazione , il cui grado è pari al grado di . Il teorema di Niels Henrik Abel e Paolo Ruffini asserisce che non esistono sempre formule analoghe per le equazioni di grado maggiore al quarto, per cui è necessario l'ausilio della teoria dei gruppi. Alcune di queste sono tuttavia riconducibili con la Regola di Ruffini a equazioni di grado minore o uguale al quarto, per cui la soluzione sotto forma di radicale esiste sempre.

Determinazione parziale[modifica | modifica wikitesto]

  • Il criterio di Cartesio trova il numero massimo di radici reali positive e/o negative di un polinomio di grado finito.
  • Il criterio di Routh-Hurwitz trova invece il numero di radici a parte reale positiva e/o negativa di un polinomio di grado finito.
  • Il criterio di Jury stabilisce se un polinomio di grado finito abbia radici di modulo minore di uno.

Polinomi semplici notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno. In particolare:

Polinomi e radici complesse[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio reale può non avere radici: ad esempio non ne ha, perché per ogni . Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio ha due radici: .

Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice (il campo complesso è algebricamente chiuso). Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che si può sempre scrivere come

dove sono numeri complessi non necessariamente distinti.

Inoltre, il teorema delle radici complesse coniugate garantisce che se un polinomio a coefficienti reali ha come radice, allora anche il suo complesso coniugato è una sua radice.

Determinazione numerica[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Calcolo di uno zero di una funzione.

Viene in aiuto, per calcolare gli zeri di funzioni non polinomiali, l'analisi numerica, che ha sviluppato vari metodi iterativi che, seppur non fornendo il valore esatto del punto, vi si avvicinano con approssimazioni accettabili. I metodi principali sono:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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