Radice (matematica)
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In matematica, una radice (o uno zero) di una funzione f è un elemento x nel dominio di f tale che la sua immagine f(x) è uguale a zero.
Questa definizione è molto importante in algebra quando f è un polinomio. Si dice quindi che un numero x è la radice n-esima di un altro numero a, se x è una radice del polinomio xn − a, cioè se xn = a. Parliamo quindi per n = 2,3,... di radice quadrata, cubica, etc.
I numeri complessi sono stati introdotti essenzialmente per garantire l'esistenza di radici per tutti i polinomi.
Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann.
Indice |
[modifica] Definizione
[modifica] Radice di una funzione
Sia 
una funzione fra due insiemi, tale che Y contiene un elemento "zero". Ad esempio, Y può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento x in X è una radice di f se
- f(x) = 0,
in altre parole, se l'immagine di x tramite f è zero (vedi la voce nucleo per una trattazione da un punto di vista algebrico).
[modifica] Radice n-esima
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Per approfondire, vedi la voce Radicale (matematica). |
Dati due numeri x e a in un campo (ad esempio quello dei numeri reali o complessi), si dice che x è radice n-esima di a se x è una radice della funzione
- f(x) = xn − a
In altre parole, x è radice n-esima di a se vale xn = a. Lo stesso numero a può avere più radici (ad esempio +1 e -1 sono entrambe radici quadrate di a = 1) o non averne nessuna (ad esempio a = -1 non ha radici quadrate fra i numeri reali).
[modifica] Esempi
Denotiamo con R l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale f: R → R data da:
- f(x) = x2 − 6x + 9
Il numero 3 è radice di f, perché 
. Più in generale, le radici di una funzione f: R → R sono i punti in cui il grafico di f interseca l'asse x. Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite.
[modifica] Molteplicità di una radice
Si definisce la molteplicità di una radice a di un polinomio p(x) come il numero naturale n tale che
- p(x) = (x − a)nq(x)
dove q(a) è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini, n è il numero di volte in cui possiamo dividere p per (x - a).
Se il polinomio p si "spezza" come
allora la molteplicità di a è il numero di volte che compare fra i vari ai. La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si spezza, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio
- p(x) = x7 − 14x5 + 3x3 − 741x2
ha la radice zero con molteplicità 2, infatti
e 0 non è radice di q.
[modifica] Radici di polinomi reali
[modifica] Formule risolutive
Un polinomio in una variabile a coefficienti reali è interpretabile come una particolare funzione p: R → R. Lo studio delle radici di un dato p è stato sempre centrale nello sviluppo della matematica. Trovare le radici di p equivale a risolvere l'equazione p(x) = 0, il cui grado è pari al grado di p. Esistono delle formule esplicite per la risoluzione delle equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado, mentre un teorema di Niels Henrik Abel e Paolo Ruffini asserisce che non esistono sempre formule analoghe per le equazioni di grado maggiore al quarto.
[modifica] Numero di radici
Usando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio p(x) di grado n ha al più n radici, nel modo seguente:
- se n = 1 otteniamo una equazione di primo grado, che ha sempre una sola soluzione;
- per n > 1: se a è una radice di p, allora il teorema di Ruffini asserisce che p(x) = (x - a)q(x), dove q è un altro polinomio di grado n-1. Per l'ipotesi induttiva q ha al più n-1 radici distinte. D'altra parte, se p(x) = 0 allora (x - a) = 0 oppure q(x) = 0: quindi una radice di p è a oppure è radice di q. Quindi p ha al più n radici.
Sempre usando il teorema di Ruffini, si vede che p ha n radici se e solo se possiamo scrivere
dove a1, ..., an sono numeri reali distinti (le radici di p).
[modifica] Proprietà generali
Un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno. In particolare:
- un polinomio di primo grado ha sempre una radice reale;
- un polinomio di secondo grado ha due radici reali se il discriminante è strettamente positivo, una se è nullo, nessuna se è negativo;
- un polinomio di terzo grado ha 1 o 3 radici reali.
[modifica] Segno delle radici: la regola di Cartesio
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Per approfondire, vedi la voce Regola dei segni di Cartesio. |
La regola dei segni di Cartesio è uno strumento efficace utile a stimare il numero di radici positive e/o negative di un polinomio di grado n. Il criterio funziona nel modo seguente: si scrive la successione dei coefficienti non nulli del polinomio; si contano poi quante variazioni di segno ci sono. Il numero delle radici reali positive (contate con la molteplicità), è quindi minore od uguale al numero delle variazioni di segno. Inoltre i due numeri hanno la stessa parità.
[modifica] Polinomi e radici complesse
Un polinomio reale può non avere radici: ad esempio p(x) = x2 + 1 non ne ha, perché x2>0 per ogni x. Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio p(x) = x2 + 1 ha due radici, +i e -i.
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio p a coefficienti reali o più generalmente complessi ha una radice (il campo complesso è algebricamente chiuso). Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che p si può sempre scrivere come
dove a1, ..., an sono numeri complessi non necessariamente distinti.
[modifica] Metodi numerici per il calcolo delle radici
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Per approfondire, vedi la voce Calcolo dello zero di una funzione. |
Viene in aiuto, per calcolare gli zeri di funzioni non polinomiali, l'analisi numerica, che ha sviluppato vari metodi iterativi che, seppur non fornendo il valore esatto del punto, vi si avvicinano con approssimazioni accettabili. I metodi principali sono:
- Metodo della bisezione
- Metodo delle tangenti o di Newton-Rapson
- Metodo delle secanti
- Iterazione di punto fisso
