Metodo delle tangenti

In analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $\,f(x)=0$. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo $\,[a,b]$ che contiene una sola radice.

Esempio di applicazione del metodo delle tangenti

Il metodo consiste nel sostituire alla curva $\,y=f(x)$ la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo $\,[a,b]$ e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa $\,x_t$ del punto in cui la tangente interseca l'asse delle x internamente all'intervallo $\,[a,b]$.

Supponiamo che nell'intervallo $\,[a,b]$ la funzione e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero.

Conviene tracciare la tangente nell'estremo dell'intervallo in cui la funzione e la sua derivata seconda hanno lo stesso segno; nell'esempio della figura nel punto di ascissa a.

L'equazione della tangente nel punto di ascissa a risulta $\,y-f(a)=f'(a)(x-a)$ quindi ponendo y = 0

$x_0=a-\frac{f(a)}{f'(a)}.$

Abbiamo determinato il nuovo intervallo $\,[x_0,b]$ contenente la radice che stiamo cercando. Ripetendo il procedimento per $\,x_0$ otteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l'asse delle x)

$x_1 = x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ .

Procedendo in modo iterativo si ottiene la relazione di ricorrenza

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione $\,y=f(x)=0$. Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle $\,x_n$ converge alla radice piuttosto rapidamente.

Più in dettaglio, si dimostra che se

$f \in C^2(I)$ dove I è un opportuno intorno della radice $\,\alpha$ con $f'(\alpha) \neq 0$ e se $x_0 \in I$

allora

$\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha - x_{n+1}}{(\alpha - x_n)^2} = - \frac{f''(\alpha)}{2 f'(\alpha)}$

cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni I). Se invece la radice è multipla, cioè $\,f'(\alpha) = 0$ allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita $\tau$, il procedimento iterativo si fa terminare quando $\left| x_{n+1}-x_n \right| < \tau \cdot |x_{n+1}|$ .

Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando f'(x) varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che f'(x) sia disponibile direttamente per un dato 'x'. Nei casi in cui questo non si verifica e risulterebbe necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo di bisezione
• Metodo delle secanti
• Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

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Collegamenti esterni

• Presentazione: usare il metodo delle tangenti con Turbo Pascal, da matsoftware.it

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